Flerpartikelsystem Kapitel 10 (avsnitt )

Slides:



Advertisements
Liknande presentationer
Kraft och rörelse.
Advertisements

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Introduktionsproblem med lösning
Kraft och tryck Kapitel 6.
May the force be with you
Hur lång tid tar det att räkna till en miljon?
Gravitation & Cirkulär rörelse Centripetalacceleration Newtons Gravitationslag Satelliter Keplers lagar.
Den teoretiska fysikens historia
Fysik.
Lektion 1 Hur kommer det sig att man kan bestämma massan på en kork genom att släppa ner den i ett mätglas innehållande vatten?
Energi under dissipativa krafter
Mekanik Sammanfattning.
Vad är energi? Energi är något som har förmågan att utföra ett arbete eller göra att det sker en förändring.
Årskurs 8 Fysik – Energi.
Energiformer och energiomvandlingar. Energiformer • Elektrisk energi – lätt att transportera och omvandla, svår att lagra • Kemisk energi – finns lagrad.
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Fritt fall Sid
Newtons 2:a lag En linjär rörelse beskriver grejer som rör sig med en konstant fart eller är i vila (mekanisk jämvikt) MEN Det mesta som rör sig gör det.
Speciella Relativitetsteorin
Kraft och Rörelse Prov Ons v.20
Rörelse Kapitel 7.
Krafter Sid
MaB: Andragradsekvationer
Tomas Johansson, Kyrkerörsskolan, Falköping –
Algebraiska uttryck Matematik 1.
Kapitel 6 Kraft och tryck
(Några begrepp från avsnitt 14.2)
Sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion
Maryam Mohammadi, Broängsskolan, Tumba –
Mekanik.
Tillämpningar av Newtons lagar
MEKANIK.
Felkalkyl Ofta mäter man inte direkt den storhet som är den intressanta, utan en grundläggande variabel som sedan används för att beräkna det som man är.
KRAFT Ett föremåls möjligheter att röra sig
(a) Omkretsen C= 100 m, v A =10 m/s, v B = 15 m/s Radien R = 100/(2  ) = 50/  Vinkel frekvensen för A och B:  A = v A /R = 10  /50 =  /5  B = v B.
Dynamik i cirkulära rörelser
Newtons 2:a lag En linjär rörelse beskriver grejer som rör sig med en konstant fart eller är i vila (mekanisk jämvikt) MEN Det mesta som rör sig gör det.
Kraft och tryck Sid
Arbete, energi och effekt
Krafter.
Rotation hos fasta kroppar
Rörelse Kapitel 7.
May the force be with you
OMKRETS & AREA Omkrets = b + b + h + h = 2b + 2h Area = b × h
Arbete-Energi teoremet
Arbete och kraft /
Simulering Introduktion Exempel: Antag att någon kastar tärning
Föreläsning 7 Fysikexperiment 5p Poissonfördelningen Poissonfördelningen är en sannolikhetsfördelning för diskreta variabler som är mycket.
Kinematik flerdimensionell ( Kapitel 4)
ORDET AREA BETYDER STORLEKEN AV ETT OMRÅDE
Lagen om rörelsemängdens bevarande
Rörelsemängsdmoment och gravitation
Arbete Energi Effekt.
Föreläsning 2, Vektorer! (I vanliga fall är boken vår primära litteratur, men för just detta avsnitt är dessa bilder tänkt att ersätta bokens kapitel.
FUNDERA PÅ: Vilken sida kommer att tippa neråt? Nu då? Varför? 10 kg20 kg 10 kg20 kg.
Likformig cirkulär rörelse Cirkulär centralrörelse med konstant fart
KINEMATIK I 1-DIMENSION
Arbete, energi och effekt
Lars Madej  Vad är omkrets?  Har jordklotet en omkrets?
Repetition Kraft och Rörelse Prov Ons v.20. Vad menas med begreppet kraft? Något som kan få ett föremål att – ändra formen – ändra rörelseriktningen –
Mekanik II rep kurs lektion 3 Staffan Yngve. Momentlagen igen I kap 16 BF genomgicks momentlagen för en partikel, som kan skrivas dH O /dt=M O Här är.
Mekanik II lektion 2 Staffan Yngve. Start med ett problem Problem A 100-kg cylindrical disk is at rest when the force F is applied to a cord wrapped.
Kraft, rörelse och arbete HGA. Olika sorters krafter Anne-Lie Hellström, Christinaskolan, Piteå – HGA Tyngdkraft - jordens dragningskraft.
KRAFTER KRAFT MOTKRAFT MASSA TYNGD. Krafter påverkar materia  Prova att lyfta din penna  Jämför detta med att lyfta något tyngre, tex din fysikbok.
May the force be with you
Mekanik Kinematik.
Mekanik II repkurs lektion 4
May the force be with you
Newtons 1:a lag. Tröghetslagen
Kraft AF åk 8 vt-19.
Presentationens avskrift:

Flerpartikelsystem Kapitel 10 (avsnitt 10.1-4) Masscentrum Newtons 1:a lag (flerpartikelsystem) Newtons 2:a lag (flerpartikelsystem) Kinetisk energi (flerpartikelsystem)

Masscentrum Fram tills nu har vi behandlat alla våra objekt som punktpartiklar. Det vill säga vi har inte brytt oss om hur de är utformade. I vissa fall är det enkelt att beskriva rörelsen hos ett objekt, exempelvis en boll, men för att beskriva rörelsen hos en klubba är det inte lika enkelt. I det här fallet måste man behandla klubban som ett flerpartikelsystem, där varje del av klubban har en annan rörelsemönster än de andra delarna. Lyckligtvis finns det en speciell punkt i klubban vars rörlse kan beskrivas med de rörelseekvationerna som vi känner till. Denna punkt kallas för masscentrum. Masscentrum hos ett flerpartikelsystem är den punkt som om (a) hela systemets massa är koncentrerad där (b) alla externa krafter verkar där.

Vi börjar med det enklaste fallet där vi har två partiklar med massorna m1 och m2 och som befinner sig på positionerna x1 respektive x2. s1 och s2 är avtånden som beskriver partiklarnas positioner relativt masscentrumets possition xCM. Från jämviktförhållandet: m1s1 = m2s2, kan vi få ett uttryck för xCM. m1(xCM – x1) = m2(x2 –xCM) m1xCM – m1x1 = m2x2 –m2xCM xCM = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2) (i) Detta var definitionen av masscentrumets position för tvåpartikelsystem i en dimension. För ett system med n partiklar och total massa M, kan (i) skrivas som: (ii) I tre dimensioner uttrycks masscentrumets koordinater enligt följande: (iii) Lägesvektorn för masscentrum i tredimensioner blir därför: rCM = xCMi + yCMj + zCMk (iv) Från relationerna (iii) och (iv) kan vi nu ge ett uttryck för masscentrumets läge i vektorform.

Masscentrum hos kroppar Om vi nu skulle vilja bestämma en kropps masscentrum så skulle vi nog inte vilja summera över varje atom i i kroppen. Om vi skulle kunna beskriva formen på en kropp matematiskt så kan vi med hjälp av integraler bestämma kroppens masscentrum. Det allmänna uttrycket för masscentrumets läge blir: dm r dm är en masselement av kroppen som befinner sig på position r. Känner man till kroppens densitet r så kan man uttrycka dm som: dm = rdxdydz och på så sätt lösa integralen. Men vi ska inte ge oss in på att lösa integraler av flervariabler, utan vi ska hålla oss till de fall där vi kan använda oss av en variabel i integrationen. Sådana fall uppstår när man har symmetriska föremål. Ett exempel på ett sådant fall (se figur) är en kon. Konen ser identisk ut på xy planet som på xz planet. z y x

Bestämning av en kons masscentrum Vi har en massiv kons vars masscentrum vi vill bestämma. Vi känner till konens höjd h, semivinkeln a och konens densitet r. Vi börjar först med att bestämma konens massa M. Från figuren kan vi se att radien (y) hos konen ges av xtana. Om vi tittar på en tunn skiva med tjockleken dx på avståndet x från konens spets, så kan vi få dess massa dm: dm = rpx2tan2adx, integrerar vi denna funktion från x=0 till x=h får vi konens massa M: htana h x y xtana dm = rpx2tan2adx Om vi placerar konen längs x-axeln med spetsen på origo så vet vi att (på grund av symmetrin) maccentrumets läge för y och z koordinaten är lika med noll. Det återstår bara att bestämma masscentrumets läge längs x-koordinaten xCM.

Bestämning av masscentrum hos en böjd stång Vi har en massiv stång som är böjd till en halvcirkel med radien R. Stången har en linjär densitet l (vanligt att man ger densitet i massa/längd när man har en konstant tvärssnitt) och vi vill bestämma dess masscentrum. Här är det lämpligt att vi uttrycker masselementen dm i term av q (i radianer) och radien R. q dq R y x dm = lRdq Stången är symmetrisk kring x axeln, så vi behöver endast bestämma masscentrumen längs y- axeln. y-koordinatens position ges av Rsinq, och masselementen dm ges av lRdq. Stångens massa M fås ur: M = lRp Vi kan nu bestämma yCM genom att integrera från q = 0 till q = p.

Exempel Lokalisera masscentrum för ett system med tre partiklar utspridda enligt figuren. m1= 0.5 kg m3= 2 kg m2= 1.5 kg 1 -1 -2 2 x y

Exempel En kvadrat med sidorna 2R har ett hål med radien R/2. Hålets läge relativt kvadratens mittpunkt är (R/2, R/2) se figur. Lokalisera läget för masscentrum relativ kvadratens mittpunkt. Anta att kvadraten har ytdensitet s. 2R

Exempel Lokalisera masscentrum för en tunn tråd som formar en kvartscirkel med radien R. Tråden har en linjär densitet l. R

Gör det själv Tre sidor av en kub med sidolängden L tas bort enligt figuren. Lokalisera läget för masscentrum. z x y L

Newtons 1:a lag (flerpartikelsystem) Varför behöver vi känna till masscentrum? Detta kommer och blir tydligt under detta avsnitt. Vi börjar med att ge ett uttryck för masscentrumets hastighet genom att derivera masscentrumets läge med avseende på tiden. Den totala rörelsemängden P kan därför skrivas som: Ur detta samband får vi slutsatsen: Den totala rörelsemängden hos ett flerpartikelsystem motsvarar en enda imaginär partikel med massan M (M = Smi) och hastighet vCM.

Newtons 2:a lag (flerpartikelsystem) Vi kan uttrycka kraftekvationen F = ma, genom att derivera masscentrumhastigheten med avseende på tiden, dvs: F = Md(vCM)/dt = MaCM. (i) I ett isolerat system så vet vi att summan av alla interna krafter är lika med noll. Med andra ord om (i) är skilld från noll så är F lika med summan av alla externa krafter som påverkar en punkt (masscentrum) med accelerationen aMC och massan M. Fext = MaCM. Eller så kan man använda Newtons andra lag: Fext = dP/dt. DVS: Ändringen av den totala rörelsemängden hos ett flerpartikelsystem är lika med summan av alla externa krafter. I ett isolerat system är Fext = 0, så från relation (i) ser vi att vCM måste vara konstant.

Exempel En partikel med massan m1 = 2 kg har positionen r1 = 2i +3j m och hastigheten v1 = -i + 5j m/s, medan en annan partikel med massan m2 = 5 kg och positionen r2 = -5i + j m, har hastigheten v2 = 3i -4j m/s. Bestäm (a) rCM (b) vCM (c) den totala rörelsemängden P (d) Läget för masscentrum 2 s senare, i frånvaro av externa krafter.

Exempel Ett 6 kg objekt skjuts iväg från en höjd på 100 m. Start hastigheten är 50 m/s och riktningen är 53˚ relativt marken. Vid ett tillfälle exploderar objektet i två fragment. 4 kg fragmenten slå i marken 200 meter längre bort från starten. Bestäm var den andra fragmentent slår i marken, utgå från att både fragmenten slår i marken samtidigt. Räkna med g = 10 m/s2.

Exempel Ett objekt med massan m1 = 1 kg befinner sig i origo vid tiden t = 0 s, och rör sig med en hastighet på 2i m/s. Objektet påverkas av en kraft F1 = 10j N. Ett annat objekt med massan m2 =2 kg befinner sig på x = 10 m vid tiden t = 0 s, och rör sig med en hastighet på 4j m/s. Det objektet påverkas av en kraft F2 = 8i N. Bestäm (a) positionen och hastigheten för masscentrum vid t = 0 s (b) objekternas individuella acceleration (c) accelerationen hos masscentrum (d) bekräfta (c) med kraftekvationen för masscentrum (e) var befinner sig masscentrummet vid t = 2 s.

Exempel Två klossar med massorna m och 2m hålls samman av en komprimerad fjäder på insidan av en låda med längden 4L och massan 3m. Lådans mittpunkt befinner sig i läge x = 0. När fjädern släpps kommer både klossarna att befinna sig på avståndet L från lådans ändar i det ögonblicket de förlorar sina kontakter med fjädern. Visa att lådans position skiftas med L/6 efter att klossarna kolliderat och fastnat på lådans ändsidor. Alla ytor är friktionsfria. m 2m L x = 0

Gör det själv En person med massan 75 kg befinner sig på ena ändan av en 4 m lång och 25 kg tung likformig plattform som är stillastående och vilar på ett friktionsfritt underlag. Personen börjar röra sig mot andra änden av plattformen med en hastighet på 2 m/s relativt platformen. Bestäm (a) systemets masscentrum relativt personen (b) Plattformens hastighet (relativt marken) när personen rör sig mot andra änden (c) plattformens förflyttningssträcka när personen når den andra änden.

Kinetisk energi (flerpartikelsystem) Låt oss titta på ett flerpartikelsystem från en observationspunkt O. Lägesvektorerna ri, rCM och ri’ anger lägen för partikeln mi, flerpartikelsystemets masscentrum och partikel mi läge relativt masscentrum. Vi kan därför beskriva läget för partikeln mi: ri = rCM + ri’ (i) Derivatan av ri med avseende på tiden ger hastigheterna i relation (i): vi = vCM + vi’ (ii) Från (ii) kan vi uttrycka kinetiska energin för mi som: Ki = ½mivi2 = ½mi(vCM2 + vi’2 + 2vCMvi’) (iii) Den totala kinetiska energin för alla partiklarna blir: K = SKi = ½(Smi)vCM2 + ½S(mivi’2) + 2vCM S(mivi’) (iv) S(mivi’) i relation (iv) är partiklarnas totala rörelsemängden relativ masscentrum, dvs MvCM’. vCM’är hastigheten hos masscentrum relativt masscentrum vilket är noll och (iv) kan därför skrivas som: K = ½(Smi)vCM2 + ½S(mivi’2) = KCM + Krel KCM är kinetiska energin hos masscentrum och Krel är partiklarnas kinetiska energin relativt masscentrum. * mi rCM ri ri’ O K = KCM + Krel

Exempel En boll med massan 1.5 kg rör sig med en hastighet på 4 m/s österut. En annan boll med massan 2.5 kg har hastigheten 8 m/s och rör sig västerut. Bestäm (a) masscentrums hastighet (b) KCM och Krel.

Exempel En partikel med massan m1 = 5 kg rör sig med hastigheten 4j m/s. Partikeln kolliderar elastiskt med en annan partikel som befinner sig i vila och har massan m2 = 3 kg. Bestäm KCM och Krel.

Gör det själv Bestäm den kinetiska energin KCM och Krel när (a) en 5 kg kropp med hastigheten 12 m/s, kolliderar med en stillastående kropp med massan 1 kg (b) en 1 kg kropp med hastigheten 12 m/s, kolliderar med en stillastående kropp med massan 5 kg.