Ett godkänt mätvärde!? Resultatet av en mätning skrivs normalt (bestämning av tyngdaccelerationen g): Är det ett bra eller dåligt värde? Låt oss jämföra med det ”sanna värdet” gnorm genom att introducera variabeln t: Variabeln t anger antalet standardavvikelser från det nominella värdet. Med hjälp av tabellen i Appendix A i läroboken kan vi bestämma: Konsultera även figur 5.13 i läroboken på sidan 136. Exempel: gnorm=9,818 m/s2 Om gmätt = 9,7480,15 blir t = |9,748-9,818|/0,15 = 0,47 och SU = 63,8% Godtagbart! Om gmätt = 9,7480,03 blir t = |9,748-9,818|/0,03 = 2,3 och SU = 2,1% Endast 2% sannolikt att det mätta värdet härrör från en fördelning med medelvärdet gnorm. Denna mätning innehåller sannolikt ett systematiskt fel eller så är felen underskattade. Vi skall återkomma till detta problem i nästa lektion. I flera av laborationerna i kursen ingår en uppgift att bestämma ett värde som är känt (så vi har ett facit). Vi kan då fråga oss: är mitt mätvärde bra eller dåligt? I denna kurs kommer vi (i de flesta fall) anta att alla mätvärden representerar ett värde från en normalfördelad fördelning som har det beräknade medelvärdet som medelvärde och den beräknade standardavvikelsen i kvadrat som fördelningens varians. Se även kapitel 5.8 i läroboken. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Historiska data - bestämning av G (viktade medelvärden) Tabellen till höger visar resultaten från olika bestämningar av gravitationskons- tanten G. Bestäm- ningen har skett med flera olika metoder och under lång tid. Källa: http://www.ldolphin. org/setterfield/report.html Naturligtvis är det inte alltid så att det ”sanna” värdet är känt – och vad skall man då jämföra med? Newtons gravitationskonstant är inte givet av någon teori utan måste mätas. Tabellen visar på några bestämningar som har gjorts under lång tid. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Viktad anpassning till G G ur föregående tabell (utom de som är markerade med #) plottade på en tidsaxel. Vi noterar mätvärden med stora fel och flera med mycket små fel. Det beräknade felet i det viktade medelvärdet är för litet med hänsyn till hur data sprids kring medelvärdet. Oviktat medelvärde med medel- värdesfel kan beräknas till 6,658  0,011 med ett mer rimligt fel (vi tar då på sätt och vis då även hänsyn till (eventuella) systematiska fel i mätningarna). Vi inser att resultaten med små fel som ligger långt från medelvärdet med stor sannolikhet innehåller något systematiskt fel som inte är redogjort för. Låt oss dock börja med att ta bort tre mätningar med stora fel som inte bidrager med någon märkbar vikt i medelvärdet (se nästa figur). 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Med reducerad statistik I Här har vi tagit bort mätningar med stora fel. Det beräknade felet i det viktade medelvärdet är även här för litet med Hänsyn till hur data sprids kring medelvärdet. Oviktat medelvärde med medel- värdesfel kan beräknas till 6,6701  0,0029 Vi har nu kvar mätningar med mycket små fel som ligger långt från medelvärdet. Vi tar bort dessa i nästa figur. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Med reducerad statistik II Här har vi tagit bort mätningar med mycket små fel som låg långt från medelvärdet (systematiska fel?). En generell metod för detta anges lite längre fram. Det beräknade felet i det viktade medelvärdet är även här litet och synes ge ett för litet fel. Det oviktade medelvärde med medelvärdesfel kan beräknas till 6,6743  0,0076 eller avrundat 6,674  0,008 ett värde som ligger mycket nära det nominella. Det bästa värdet på G = 6,672 59(85) x 10-11 m3 kg-1 s-2, vilket gör att t = 6,2 för det viktade medelvärdet och t = 0,23 för det oviktade medelvärdet. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Felfortplantning igen För att beräkna volymen av en cylinder utförs följande mätningar av höjden h och diametern d: h (cm) d (cm) 4,65 12,25 4,61 12,26 4,68 12,32 4,65 12,30 4,67 12,22 4,69 12,21 4,64 12,35 4,66 12,31 4,67 12,29 Volymen är: Genom felfortplantning erhålls volymens standardavvikelse: Observera att vi här använder standardavvikelserna (inte medelvärdenas standardavvikelser) i felfortplantningsformeln och därefter beräknas felet i V. Medelvärdets standardavvikelse blir: 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Två viktiga kommentarer: Hur beräknades V? Jo så här: (observera att medelvärdena används här). Vi skulle lika gärna kunna gå direkt på formeln: eftersom faktorn (N-1) är gemensam för termerna i vänstra och högra ledet. Se även början av kapitel 9.2 i läroboken. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Alternativ metod Vad är då rätt? ”Nackdelen” med metoden på föregående sida är att vi måste beräkna två medel-värden och två varianser och felen för att sedan applicera felfortplantningsformeln. Ett liknande resultat erhålles genom att först beräkna volymen för de nio mätnin-garna och sedan bestämma felet utifrån spridningen. Se tabellen till höger  Vi ser att felet blir något mindre, vi får V=(551,6 ± 1,5)·10-6 m3. Vad är då rätt? Denna metod ger rätt feluppskattning! Felfortplantningsformeln på föregående sida måste ibland*) kompletteras med en extra term för att ge rätt svar! *) Kom ihåg att den enkla felfortplantningsformeln endast ger rätt svar om data är helt okorrelerade. I det fallet man är osäker på om data innehåller korrelationer ger metoden ovan alltid rätt feluppskattning. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Grundläggande felanalys Följande begrepp skall nu vara bekanta: Medelvärde Standardavvikelse Medelvärdets standardavvikelse Relativa fel Avvikelse (för ett mätvärde) Relativ avvikelse (för ett mätvärde) Diskrepans (avvikelsen mellan två värden av samma storhet) Felpropagering (leder ofta till en relation mellan relativa fel) Viktat medelvärde Felet i det viktade medelvärdet Vi sammanfattar här den grundläggande felanalysen. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Funktionsanpassning Många gånger finns det ett funktions- samband mellan två mätta variabler. Ett exempel är sambandet mellan fall- höjden och falltiden för fallande kroppar i gravitationsfältet. Fallsträcka (S) Sannolikheten för just dessa mätdata kan (analogt med det tidigare) allmänt skrivas som: P är vår Likelihood funktion som vi skall maximera med avseende på parametrarna i funktionen f. Falltid (t) Om alla i = y = konstant 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Anpassning av rät linje Vår funktion i detta fall är: Sannolikheten för en mätserie då alla mätningar har samma fel: Vi maximerar sannolikheten genom att sätta derivatorna = 0: Vi skall i denna kurs enbart titta på linjära anpassningar. Funktionen f är alltså den räta linjens ekvation som innehåller två parametrar a och b som skall bestämmas. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Linjär anpassning (forts) Det bästa estimaten av parametrarna a och b ges av (minsta kvadratmetoden): Felen i de enskilda mätningarna: Felen i parametrarna: Notera att maximering av Likelihood-funktionen innebär att argumentet 2 minimeras, därav namnet ”minsta kvadratmetoden”. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Viktad linjär anpassning även kallad viktad minsta kvadratmetoden Weigthed Least-Square Fits (olika y) Resultatet kan enkelt generaliseras till data med olika fel i. Ett viktigt samband saknas dock ännu: parametrarna a och b är inte nödvändigtvis oberoende storheter, vilket leder till en mindre komplikation (som vi skall studera nästa gång). 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Exempel - Resistansmätning Resistansen R definieras genom det linjära sambandet U=RI mellan spänningen U och strömmen I. Förhållandet mellan strömmen genom en resistor och spänningen över resistorn följer Ohms lag och är en konstant, R, resistorns resistans. Vi noterar att U = RI kan ses som en linjär funktion av strömmen I med en parameter R som skall bestämmas (t.ex. med minsta kvadratmetoden). Vi kan även skriv R=U/I vilket innebär att R kan beräknas med hjälp av mätvärdena och genom felpropagering bestäms felet i R. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Resistansmätning - analys Vi kan beräkna resistansen på flera olika sätt. a) Vi beräknar ett medelvärde av R och tar variansen som ett mått på felet. Vi får: 464,25+-0,76 b) Vi beräknar ett viktat medelvärde av alla beräknade resistansen. Detta ger: 464,63+-0,54 c) Vi kan beräkna en trendlinje (utan fel) ala excel och får R = 465,42 d) Vi gör en viktad minsta kvadratanpassning till data med felen i U (obs att felen i I inte kommer med här). Vi får: 465,44+-0,26 e) Vi tar även hänsyn till felen i I och beräknar ekvivalenta fel (se nedan). Detta ger: 465,34+-0,72 Vi kan inte bara ta den metod som ger det minsta felet. Metod e) är den korrekta metoden. Men även a) kan gå an! Voila 465,44+-0,26 ?! 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Ekvivalenta fel! Vi har fuskat lite! När vi beräknade medelvärdet av R använde vi: medan metoden med anpassning till en rät linje bara tog hänsyn till osäkerheten i U vilket rimligen ger en underskattning av osäkerheten. ”Fusket” ligger i metod d) där felen i strömmen I aldrig kommer in. Detta kan vi emellertid råda bot för genom att beräkna de ekvivalenta felen. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Ekvivalenta fel (forts.) x b• x Osäkerheten x svarar mot en ”ekvivalent” osäkerhet i y som ges av yekv  b• x Detta förutsätter kunskap om b, så vi får först göra en preliminär anpassning som ger oss ett preliminärt värde på b. Detta sätter vi sedan in för att beräkna yekv Det ekvivalenta felet i y från felet i x lägger en extra term (bx)2 till viktfunktionen wi. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Bestämning av g mha pendel Låt oss se på data tagna av Jari och Stefan (2003): Ett exempel på analys av data från en laboration för bestämning av tyngdaccelerationen. Hur skall vi analysera dessa data på bästa sätt? 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Bestämning av g - Metod A För varje vinkelutslag har medelvärdet av g och medelvärdesfelet av g räknats ut. Vi noterar att g ökar med minskat g och tar detta som utgångspunkt för en linjär anpassning av g som funktion av utslagsvinkeln (formeln gäller idealt endast för vinkeln 0). g har beräknats för de 15 tidmätningarna. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Bestämning av g - Metod A Resultatet av en viktad minsta kvadratanpassning g = 9,814 ± 0,063 m/s2 Men … vi har inte tagit hänsyn till osäkerheten i L ännu! Relativa felet i L är 2/785 vilket skulle kunna skjuta kurvan uppåt eller nedåt med beloppet 0,025 m/s2. Vi anger således det slutliga värdet som: 2/785*9,814 = 0,025. g = 9,814 ± 0,063 (stat.) ± 0,025 (syst.) m/s2 eller g = 9,814 ± 0,068 m/s2 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Bestämning av g - Metod B Låt oss betrakta de 15 g-värdena igen … ... och beräkna med hjälp av felfortplantningsformeln felen i varje värde Men! Nu uppstår ett nytt problem - vad skall vi välja som fel i tiderna? Låt oss välja den uträknade standardavvikelsen (0,00812 s). Felen i g: Medelfelet 0,00812 kanske bör bytas ut mot medlet från delet för de tre olika vinklarna som då blir 0,075. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Bestämning av g - Metod B Vi skall nu använda formlerna för viktat medelvärde: där Insättning av siffrorna från de två föregående tabellerna ger oss g = 9,796 ± 0,024 m/s² Obs! Denna metod förutsätter att felet i L är statistiskt vilket naturligtvis inte är fallet här. Felet i g är alltså här underskattat! Lägger vi till felet från L får vi totalt 0,035 m/s² Vi beräknar nu det viktade medelvärdet. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Bestämning av g - Metod C Här beräknar vi helt enkelt medelvärdet av g i föregående tabell med standardavvikelsen och medelvärdesfelet: g = 9,798 ± 0,023 m/s² Liksom i metod A adderar vi nu kvadratiskt det systematiska felet från osäkerheten i L och får g = 9,798 ± 0,034 m/s² Samanfattning: Metod A: g = 9,814 ± 0,068 m/s2 Metod B: g = 9,796 ± 0,035 m/s² Metod C: g = 9,798 ± 0,034 m/s² De 15 värdena i föregående tabell ger ett medelvärde och en varians. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Bestämning av g - Mer data Metod A är tveksam då mycket lite tyder på att data kan extrapoleras med någon vidare säkerhet med så stora fel på de individuella mät- ningarna. Jari och Stefans data innefattar en andra omgång med data som är erhållna med L = 80,2 ± 0,2 m. Nedan visar vi alla g-värden. g = 9,781 ± 0,019 m/s² Och om vi inkl. syst. fel i L: g = 9,781 ± 0,031 m/s² ett resultat som ligger nära Metod C. En ny omgång data med liten vinkel. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p

Viktad anpassning - EXCEL Med denna uppställning kan man även räkna för hand om antalet punkter inte är för stort. En uppställning för uträkning av räta linjens parametrar för hand med minsta kvadratmetoden. 2005-09-13 Fysikexperiment, 5p