FK2002,FK2004 Föreläsning 2

Föreläsning 2 Grupperade data och histogram Gränsvärdesfunktioner Centrala gränsvärdessatsen Normalfördelningen Tolkningen av statistiska ekvationer Att utföra experiment Denna föreläsning svarar mot: kap .5 (Taylor) + ytterligare bakgrund info i kap. 10.5 (Taylor)

Gammal tentafråga FK2002 - 2007

Presentation av data Den mest primitiva formen av en mängd mätdata är en oordnad lista 3 6 2 9 4 3 2 8 4 2 8 6 1 9 4 4 2 9 8 3 5 6 2 1 8 som blir något mer överskådlig om vi ordnar mätvärdena i storlek 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 6 6 6 8 8 8 8 9 9 9 Härifrån är steget inte långt till en frekvenstabell xk 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mk 2 5 3 4 1 3 0 4 3 rk 0.08 0.20 0.12 0.16 0.04 0.12 0.00 0.16 0.12 där Mk är mängden mätdata med värdet xk och rk=Mk/n är den relativa frekvensen där

Presentation av data Utfallsrummet är heltalen 1-9 - diskreta data Kan presenteras i en tabell eller stapeldiagram Relativ frekvens

Grupperade data Kom ihåg vårt ”ljushastigetsexperiment” Detektor foton partikelstrål partikelstrål X Anta att detektorn består av 20 identiska mini-detektorer (celler) som ger oberoende mätningar av hastigheten v Detektor

Grupperade data från cellerna Intervall/ms-1 Intervallmitt /ms-1 Frekvens 0.0-0.6 0.3 5 0.6-1.2 0.9 2 1.2-1.8 1.5 1.8-2.4 2.1 2.4-3.0 2.7 3.0-3.6 3.3 3.6-4.2 3.9 4.2-4.8 4.5 4.8-5.4 5.1 5.4-6.0 5.7 7 Medelvärde = 3.2 s = 2.4 x108 ms-1 Antalet mätningar inom ett intervall v x 108 ms-1 Kontinuerliga data - kan representeras i en tabell eller histogram med diskreta intervall.

Andra mätningar v x 108 ms-1 v x 108 ms-1 Medelvärde = 2.81 s = 2.5 Medelvärde = 2.41 s = 2.2 x108 ms-1 x108 ms-1 Antalet mätningar inom ett intervall Antalet mätningar inom ett intervall v x 108 ms-1 v x 108 ms-1 Medelvärdet av 20 cellmätningnar beräknas för att producera en mätning av v .

Cellmätningar med en stor mängd data Medelvärde = 2.95 s = 2.3 x108 ms-1 Antalet mätningar inom ett intervall v x 108 ms-1

Sannolikhetsfördelning v x 108 ms-1

Fråga Normera fördelningen (cellmätningar) nedan så att den blir en sannolikhetsfördelning f(x) . Anta att histogrammet består av 50000 datapunkter a v x 108 ms-1

a v x 108 ms-1 f 1/30 1/60 v x 108 ms-1

Sannolikhetsfördelning Gränsvärdesfunktion v x 108 ms-1

En jämförelse av cellmätningar och detektormätningar cells Medelvärde = 2.95 s = 1.0 x108 ms-1 Antalet mätningar inom ett intervall Antalet mätningar inom ett intervall v x 108 ms-1 v x 108 ms-1 Fördelning av mätningar av dektektorn Fördelning av mätningar av cellerna

Vad är det som har hänt ? v x 108 ms-1 En mätning av v av detektorn motsvarar en slumpmässig sampling av 20 datapunkter från denna fördelning. T.ex. Medelvärdet av dessa punkter är detektorns mätning av v. Fördelningen av cellmätningar och fördelningen av medelvärdet av cellmätningar är annorlunda!! Antalet mätningar inom ett intervall Antalet mätningar inom ett intervall Antalet mätningar inom ett intervall v x 108 ms-1 v x 108 ms-1 v x 108 ms-1 Obs! Ingen cell skulle ge så konstiga resultat i verkilgheten – denna fördelning används här för att illustrera en poäng.

Fördelningen av cellmedelvärden s = 1.0 x108 ms-1 Fördelning av medvärdet av 20 cellmätningar v x 108 ms-1

Centrala gränsvärdessatsen Om man addera samman flera slumpmässiga variabler med en och samma sannolikhetsfördelning kommer summan gå mot en special gränsvärdesfunktion: Normalfördelningen. Detta gäller oberoende av hur fördelningen ser ut för de termer som ingår i summan!!

Ett annat exempel på den centrala gränsvärdessatsen Börja med en icke-normalfördelning. Beräkna medelvärdet av 2,3,4,8,16 och 32 punkter som valdes ut slumpmässigt från den icke-normalfördelningen. Medelvärdetsfördelning blir en normalfördelning

Ett annat exempel på den centrala gränsvärdessatsen Börja med en icke-normalfördelning. Beräkna medelvärdet av 2,3,4,8,16 och 32 punkter som valdes ut slumpmässigt från den ickenormalfördelningen. Medelvärdetsfördelning blir en normalfördelning

En normalfördelning m-s m+s m x

Normalfördelningen f(x) x

Tolkningen av normalfördelningen Tolkning av normalfördelningen som en sannolikhetsfördelning. Utfallet av en mätning ges med en viss sannolikhet.

Tillbaka till vårt experiment s v x 108 ms-1

Sammanfattning av några viktiga ekvationer

Fråga

Gammal tentafråga FK2002-2009 43 47 51 38 t/ms

Sammanfattning -1 Data kan representeras i en tabell eller ett stapeldiagramm (diskreta data) eller histogram (kontinuerliga data i diskreta intervall) Tabeller,stapeldiagram och histogram kan användas för att visa antalet mätningar eller sannolikhetsfördelningar. v x 108 ms-1

Sammanfattning -2 Med hög statistik närmar histogram en gränsvärdesfunktion Om man addera samman flera slumpmässiga variabler med en och samma sannolikhetsfördelning kommer summan gå mot en special gränsvärdesfunktion: Normalfördelningen. Osäkerheten i en individuell mätning av en kvantitet = s (standardavvikelsen av kvantitetens fördelning) f Gränsvärdesfunktion m-s m+s m x v x 108 ms-1

Att utför experiment och skriva vetenskapligt See också : Skriva fysik : http://www.physto.se/~grulab/teaching/2011/fexp/sf.pdf Och Laborationsmanual http://www.physto.se/~grulab/teaching/2011/fexp/laborationsmanual.pdf

Planering Förberedelser Genomförandet Vad är det vi vill göra ? Förstå den underliggande teorin Genomförandet Tänk igenom mätningarna Kalibrering av instrument Systematiska effekter

Rapporten Du måste skriva ner noga detaljer för att tillåta en annan experimentalist att upprepa dina resultat.

Exempel - figur

Exempel - tabell

Exempel - tabel Glöm ej enheter på alla kvantiteter och grafer !!

Gamla tentafrågor FK2002 - 2007