2 Ändringskvot och derivata 2.1 Sekanter och tangenter

Sekantens lutning (i intervall) Δ𝑦 Δ𝑥 Lutningen på sekanten som skär PQ får vi genom differenskvoten 𝑦 Δ𝑦 Δ𝑥 𝑥

Sekantens lutning (i intervall) Δ𝑦=𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎) 𝑦 Δ𝑥=𝑎+ℎ−𝑎=ℎ Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎) ℎ 𝑓(𝑎+ℎ) 𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎) 𝑓(𝑎) Δ𝑦 ℎ Δ𝑥 𝑎 𝑎+ℎ 𝑥

Exempel Stina säljer biljetter till skolbalen. Grafen beskriver antalet biljetter hon sålt efter sex dagar. Hur många säljer hon i genomsnitt per dag? 𝑘= Δ𝑦 Δ𝑥 = genomsnittlig förändringshastighet Övning i huvudräkning Δ𝑦 Δ𝑥 = 800 6 = 600+200 6 = 𝑦 = 600 6 + 200 6 = =100+ 100 3 = 133,3 Stina säljer i genomsnitt 133,3 biljetter per dag. Δ𝑦=800 𝑥 Δ𝑥=6

Exempel Stina säljer biljetter till skolbalen. Grafen beskriver antalet biljetter hon sålt efter sex dagar. Hur många biljetter säljer hon i genomsnitt per dag de tre första dagarna? 𝑘= Δ𝑦 Δ𝑥 = genomsnittlig förändringshastighet 𝑦 Δ𝑦 Δ𝑥 = 300 3 =100 Stina säljer i genomsnitt 100 biljetter per dag de tre första dagarna. Δ𝑦=300 𝑥 Δ𝑥=3

Exempel Låt 𝑁(𝑡) vara antalet bakterier i en bakteriekultur efter t h. Beräkna den genomsnittliga tillväxthastigheten från 𝑡=1,5 till 𝑡=2,0 om 𝑎) 𝑁 𝑡 =100+1,6 𝑡 4 Förändringskvoten Δ𝑦 Δ𝑥 blir Δ𝑁(𝑡) Δ𝑡 där Δ𝑡=2,0−1,5=0,5 För att bestämma Δ𝑁 𝑡 behöver vi 𝑁 1,5 och 𝑁 2 𝑁 1,5 =100+1,6× 1,5 4 =108,1 𝑁 2 =100+1,6× 2 4 =125,6 Δ𝑁 𝑡 =125,6−108,1=17,5 Genomsnittlig tillväxthastighet under givet tidsintervall blir Δ𝑁(𝑡) Δ𝑡 = 17,5 0,5 =35 bakterier/h

Exempel Hastigheten 𝑣(𝑡) m/s för en sportbil ges av formeln 𝑣 𝑡 =13,3𝑡−0,44 𝑡 2 där t är tiden i sekunder och 0≤𝑡≤15. Beräkna och tolka 𝒂) 𝑣(5) 𝑣 5 =13,3×5−0,44× 5 2 =66,5−11=55,5 55,5 𝑚/𝑠×3600 𝑠=199800≈200 𝑘𝑚/ℎ Svar: Efter 5 sekunder har bilen ungefär hastigheten 200 km/h.

Exempel Hastigheten 𝑣(𝑡) m/s för en sportbil ges av formeln 𝑣 𝑡 =13,3𝑡−0,44 𝑡 2 där t är tiden i sekunder och 0≤𝑡≤15. Beräkna och tolka 𝒃) 𝑣 6 är bilens hastighet efter 6 sekunder. 𝑣 6 =13,3×6−0,44× 6 2 =63,96 m/s 𝑣 6 −𝑣(4) 2 𝑣 4 är bilens hastighet efter 4 sekunder. 𝑣 4 =13,3×4−0,44× 4 2 =46,16 m/s 46,16 m/s 𝑣 6 −𝑣(4) 2 = 63,96−46,16 2 = 17,8 2 =8,9 Δ𝑣(𝑡)=17,8 63,96 m/s Δ𝑡=2 Svar: Mellan 4 och 6 sekunder efter det att bilen startat ökar den genomsnittligen hastigheten med 8,9 m/s

Sekant blir tangent 𝑦 ℎ Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎) ℎ 𝑥 Låt oss säga att P är en fast punkt på kurvan och att vi låter gränsen h närma sig noll (ℎ→0). ⇨ Punkten Q närmar sig punkten P. ⇨ Sekanten övergår i en tangent i punkten P. ⇨ Lutningen av sekanten kommer att närma sig lutningen av tangenten i punkten P. Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎) ℎ ℎ 𝑥 Sekantens lutning kommer vi att kunna utnyttja för att beräkna derivator om vi använder oss av små värden på h.

Tangentens lutning (I punkt) Att ta fram en sekants lutning ger oss en fingervisning om lutningen i en viss punkt, men den är inte särskilt noggrann. Kan vi istället ta reda på en kurvas lutning i varje punkt kan vi lösa många spännande problem. Med lutningen i en punkt på kurvan så menar vi lutningen på tangenten i den punkten eller derivatan i den punkten. 𝑦 𝑥

Exempel 𝑎) Bestäm lutningen för tangenten till kurvan 𝑦= 𝑥 2 i punkten 𝑃=(1,1) Vi tar fram sekantens lutning mellan punkten P och Q. 𝑦 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 Δ𝑦 Δ𝑥 = 1+ℎ 2 −1 ℎ = 1+2ℎ+ ℎ 2 −1 ℎ (1+ℎ, 1+ℎ 2 ) = 2ℎ+ ℎ 2 ℎ =2+ℎ Δ𝑦 Lutningen beror av h. För att få ett noggrant värde på lutningen i punkten P ersätter vi h med ett tal som närmar sig noll, t.ex. ℎ=0,00000001. (1,1) Δ𝑥=ℎ 𝑥 Lutningen blir då 2+ℎ=2+0,00000001≈2 Svar: Lutningen (derivatan) i punkten (1,1) är 2.

Bestäm lutningen grafiskt 𝑎) Bestäm lutningen för tangenten till kurvan 𝑦= 𝑥 4 i punkten 𝑃=(1,1) Vi ritar grafen i räknaren och zoomar in kraftigt kring (1,1) Vi använder trace och spårar upp en koordinat Q som ligger på funktionen och nära P. Exempelspårning → 𝑄=(1,001984;1,007960) Detta ger Δ𝑦 Δ𝑦 Δ𝑥 = 1,007960−1 1,001984−1 = 0,007960 0,001984 =4,012096≈4 (1,1) Δ𝑥 Svar: Lutningen till 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 i punkten 1,1 är 4. 𝑓 𝑥 = 𝑥 4

Lutningen av en kurva POSITIV NEGATIV POSITIV NEGATIV POSITIV De punkter där kurvans lutning är 0 är särskilt viktiga för att beskriva kurvors utseende. I dessa punkter är 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑎𝑛=0

Derivata Med hjälp av gränsvärdesbegreppet kan vi låta ändringskvoten bli mer noggrann, en derivata. Lutningen på linjära funktioner beskrivs ofta med k-värdet. På liknande sätt kan andra kurvors lutning beskrivas med hjälp av funktioner, dessa funktioner är de ursprungliga funktionernas derivator. Newton 1642-1727 f(x) beskriver funktionen f´(x) beskriver lutningen 𝑓 1 𝑥 = 𝑥 2 𝑓 1 ´ 𝑥 =2𝑥 𝑓 2 𝑥 = 𝑥 3 +2𝑥 𝑓 2 ´ 𝑥 = 3𝑥 2 +2 𝑓 3 𝑥 = 𝑥 7 +2 𝑥 4 𝑓 3 ´ 𝑥 = 7𝑥 6 +8 𝑥 3 Derivata är lutningen av en funktion eller lutningen i en viss punkt på en funktion. Leibniz 1646-1716 Derivata används för att lösa extremvärdesproblem där vi söker att maximera eller minimera funktioner.