Sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion

Ändringskvot Ändringskvoten beskriver en genomsnittlig förändring. T ex ökning/år eller minskning/sekund. Medelhastighet är en ändringskvot. Uppgift: Kalle vägde 120 kg när han började banta. Tabellen visar hur hans vikt förändrades. Tid i veckor 2 4 6 10 20 Vikt i kg 120 118 114 112 105 97 Hur stor var Kalles genomsnittliga viktminskning per vecka under hela perioden? Bestäm ändringskvoten kg/vecka från vecka 2 till 4.

Sekantens lutning Bilden visar grafen till funktionen 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +1. Bestäm ändringskvoten då 𝑥 ändras från 𝑥=1 till 𝑥=3. Vi ska alltså bestämma sekantens lutning! Ändringskvoten= ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 3 −𝑓(1) 3−1 = 10−2 2 =4

Uppgift Bestäm ändringskvoten för funktionen 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 , då 𝑥 ändras från 2 till 2,01 från 2 till 2+ℎ

Lösningar 𝑓 2,01 −𝑓(2) 2,01−2 = 3∙ 2,01 2 −3∙ 2 2 0,01 = 3∙ 2,01 2 −3∙ 2 2 0,01 = Ändringskvoten = 12,1203−12 0,01 = 0,1203 0,01 =𝟏𝟐,𝟎𝟑 𝑓 2+ℎ −𝑓(2) (2+ℎ)−2 = 3∙ (2+ℎ) 2 −3∙ 2 2 2+ℎ−2 = Ändringskvoten = 3 4+4ℎ+ ℎ 2 −12 ℎ = 12+12ℎ+3 ℎ 2 −12 ℎ = 12ℎ+3 ℎ 2 ℎ = ℎ(12+3ℎ) ℎ =𝟏𝟐+𝟑𝒉

Från sekant till tangent Det är svårt att rita en korrekt tangent till en kurva. För att bestämma tangentens lutning kan man istället utgå från en sekant och låta avståndet mellan de två skärningspunkterna bli mindre och mindre. När punkterna till slut sammanfaller, så övergår sekanten till en tangent. Från sekant till tangent

Derivata Tangentens lutning är detsamma som funktionens derivata i den punkten. Funktionens derivata beskriver alltså en kurvas lutning i en punkt. Derivatan negativ Derivatan positiv Derivatan noll

Resonemang och begrepp Sid 63 i boken: Varför är det lättare att rita en sekant än att rita en tangent till en kurva? På vilket sätt kan man bestämma en kurvas medellutning i ett intervall? På vilket sätt kan man bestämma en kurvas lutning i en punkt? En rät linje kan i vissa fall vara både en sekant och en tangent till en kurva. Hur kan grafen till en sådan funktion se ut? I vilka situationer kan man vara intresserad av att veta lutningen på tangenten till en kurva i en viss punkt?

Gränsvärde Vi går tillbaka till ändringskvoten för funktionen 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 , då 𝑥 ändras från 2 till 2+ℎ: Vi fick att ändringskvoten = 12+3ℎ 𝒉 är lika med avståndet mellan punkterna. Om vi låter ℎ gå mot noll så kommer sekanten att övergå till en tangent och vi får ett värde på derivatan i punkten där 𝑥=2.

Alltså… Derivatan där 𝑥=2 är lim ℎ→0 12+3ℎ= 12+3∙0=12 Derivatan av funktionen 𝑓(𝑥) i den punkt där 𝑥=2 skrivs 𝑓´ 2 och utläses ”f prim 2”.

Derivatans definition Felix Herngren 𝑓´ 𝑎 = lim ℎ→0 𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎) ℎ Detta är derivatan till funktionen 𝑓(𝑥) där 𝑥=𝑎. 𝑓´(𝑎) betyder också tangentens k-värde i den punkt där 𝑥= 𝑎.

Uppgifter Beräkna gränsvärdena lim ℎ→0 (2ℎ+5) lim ℎ→0 𝑥− 𝑥 2 𝑥 Beräkna 𝑓´(2) med hjälp av derivatans definition, då 𝑓 𝑥 =2𝑥+3 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +6𝑥

Lösningar Sätt upp ändringskvoten 𝑓 2+ℎ −𝑓(2) ℎ = 2 2+ℎ +3−(2∙2+3) ℎ = 4+2ℎ+3−4−3 ℎ = 2ℎ ℎ = 2 lim ℎ→0 2 =𝟐 lim ℎ→0 (2ℎ+5) =2∙0+5=𝟓 Förenkla 𝑥− 𝑥 2 𝑥 = 𝑥(1−𝑥) 𝑥 =1−𝑥 lim ℎ→0 𝑥− 𝑥 2 𝑥 = lim ℎ→0 (1−𝑥 ) =1−0=𝟏 Sätt upp ändringskvoten 𝑓 2+ℎ −𝑓(2) ℎ = 2+ℎ 2 +6 2+ℎ −( 2 2 +6∙2) ℎ = = 4+4ℎ+ ℎ 2 +12+6ℎ−4−12 ℎ = 10ℎ+ ℎ 2 ℎ = 10+ℎ lim ℎ→0 10+ℎ =10+0=𝟏𝟎 Förenkla 8+ℎ 2 − 8 2 ℎ = 64+16ℎ+ ℎ 2 −64 ℎ = = 16ℎ+ ℎ 2 ℎ =16+ℎ lim ℎ→0 8+ℎ 2 − 8 2 ℎ = lim ℎ→0 (16+ℎ) =16+ 0=𝟏𝟔