Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 novnember B1118 Diskret matematik Sjunde föreläsningen Grupper

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Abstrakt algebra 4 Ibland har man nytta av att glömma bort mycket av den struktur som finns hos ett specifikt objekt. 4 Man kan d ₢ formulera p ₢ st ₢ enden och satser som är giltiga i m ₢ nga olika situationer.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Binär operation 4 En grupp är en mängd G med en binär operation som uppfyller vissa villkor. 4 Med en binär operation menas att vi stoppar in tv ₢ saker och f ₢ r ut en. 4 Matematiskt är detta en funktion G D G } G.  Ex. +,D och - är binära operationer p ₢ Z. – (a,b) sänds till a+b, a×b och a-b.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Gruppaxiomen  Definition. En grupp är en mängd G med en binär operation C som uppfyller – aC(bCc) = (aCb)Cc (associativitet) – Det finns ett element e s ₢ att aCe=eCa=a för alla a i G. (identitet) – För varje a i G finns ett b s ₢ att aCb=bCa=e (invers)

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Varför grupper?  An ledningen till att man inför ett abstrakt begrepp som grupp är att – Samma egenskaper förekommer hos m ₢ nga olika algebraiska objekt. – Samma argument används om och om igen för att bevisa liknande satser om olika algebraiska objekt.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 N ₢ gra exempel 4 S n - den symmetriska gruppen. 4 SO(3) - gruppen av stelkroppsrotationer. 4 Symmetrigrupper för geometriska objekt som platonska kroppar. 4 Z och Z n under addition. 4 De inverterbara elementen i Z n under multiplikation.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Grupper i spel 4 I ett spel där varje drag är reversibelt finns en grupp gömd, exempelvis – Rubiks kub. – Femtonspel. 4 Gruppen f ₢ s genom; – M = {dragföljder}/~ – Tv ₢ följder är ekvivalenta om de ger samma förändring. – Operationen är sammansättning.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Symmetriska gruppen 4 S n är alla permutationer av N n. 4 Gruppoperationen är sammansättning. 4 Idetitetselementet är id, identitets- permutationen. 4 Exempel. – S 3 ={id,(12),(23),(13),(123),(132)}.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Grupptabell 4 Multiplikationstabellen för en grupp kallas grupptabell.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Latinska kvadrater 4 En grupptabell är en latinsk kvadrat, dvs – Varje symbol st ₢ r precis en g ₢ ng i varje rad och kolonn. – Inte alla latinska kvadrater är grupptabeller.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Stelkroppsrotationer 4 Sammansättning av stelkroppsrotationer ger en gruppoperation p ₢ mängden av stelkroppsrotationer.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Symmetrigrupper 4 En mängd av stelkroppsrotationer som ₢ terför ett geometriskt objekt till sig själv kallas symmetrigrupp. 4 Sammansättning ger en gruppoperation p ₢ en symmetrigrupp.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Triangelgruppen - G   Symmetrigruppen, G  för en triangel best ₢ r av sex symmetrier. – Identitetssymmetrin, id. – Tre speglingar s 1,s 2 och s 3. – Tv ₢ rotationer r 1 och r 2.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Grupptabell  Grupptabellen för triangelgruppen G  ges av

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Isomorfi  Grupptabellerna för G  och S 3 är lika. 4 Om vi byter namn p ₢ symbolerna f ₢ r vi samma grupptabell.  Funktionen f: G  }S 3 som ges av är en isomorfi av grupper.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Delgrupper 4 En symmetrigrupp G är en delgrupp av gruppen SO(3) av stelkroppsrotationer. 4 Det betyder att – G aSO(3) (G är delmängd av SO(3)) – G är en grupp under samma grupp- operation som SO(3).

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Platonska kroppar 4 Det finns bara fem symmetriska tre- dimensionella kroppar. – Tetraedern – Kuben – Oktaedern – Dodekaedern – Ikosaedern

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Symmetrigrupper i rummet 4 Varje platonsk kropp svarar mot en ändlig delgrupp av SO(3): – Tetraedern – 12 symmetrier, A 4. – Kuben – 24 symmetrier, S 4. – Oktaedern – 24 symmetrier, S 4. – Dodekaedern – 60 symmetrier, A 5. – Ikosaedern – 60 symmetrier, A 5.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Abelska grupper 4 En grupp är abelsk om gruppoperationen är kommutativ, dvs – aCb=bCa för alla element a och b. 4 Ex. Z och Z n är abelska grupper under addition. 4 Gruppoperationen skrivs ofta som + i abelska grupper.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Ordning 4 Ordningen av en grupp G är |G|=#G.  Ordningen o(a) av ett element a i G är det minsta positiva n s ₢ att a n =e. 4 Exempel. – Ordningen för S n är n! – För  (143)(25) i S 5 är o(  )=6 eftersom  2 =(134),  3 =(25),  4 =(143),  5 =(134)(25) och  6 =id.

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Cykliska grupper 4 Om o(a)=|G| för n ₢ got a i G kallas G cyklisk och a är en generator. 4 Alla cykliska grupper av samma ordning är isomorfa. Ex. Z n med + är cyklisk av ordning n. – Identitetselementet är 0. – o(1)=n, eftersom

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 19 november 2001 Lagranges sats 4 Sats. Ordningen till en delgrupp delar gruppens ordning. – Bevis: Sidoklasser till HaG ger en partition av G där alla delar har storlek |H|.  Följdsats. o(a) delar |G| om agG. – Bevis: potenserna av a bildar en delgrupp av ordning o(a). 4 Följdsats. a |G| =e för alla a i G. – Bevis: |G|=k·o(a) 1 a |G| =a k·o(a) =e k =e.