Optimering av fiskens storlek i en fiskodling
Uppgiften Hur länge bör fisken vara kvar i dammen? Fiskens längd l cm ges av formeln l=80(1-(0,96)^t) där t är antalet månader som fisken spenderar i vattnet. Fiskens vikt ges av en tabell Längd (cm) Vikt (g) 10,1 15 25 236 32 520 35,4 660 43,8 1250 45,5 1425 55,7 2590
Vikten beror av längden, så funktionen blir V(l) Fiskens livslängd N ges av formeln N=1000×(0,96)^t N är antalet fiskar av 1000 som är kvar efter t månader. Vi vill veta när fisken ska tas upp ur dammen för att vara så stor som möjligt
Teoretisk härledning När fisken är som störst är den även tyngst. Funktionen vi behöver är alltså funktionen för den totala vikten, Vtot. Den får man om man multiplicerar livslängdens funktion N med funktionen för individens vikt, V(l). Vtot=N×V(l) En regressionsanpassning till punkterna från tabellen ger funktionsuttrycket V(l), där längden är i x-led och vikten i y-led. Grafens funktion är V(l)=0,01l^3,02
Funktionen för Vtot är alltså Vtot=(1000 X 0,96^t) X (0,01l^3,02) Sedan sätter vi in värdet på , så att vi endast får en variabel, d.v.s. variabeln l Vtot=(1000 X 0,96^t) X (0,01(80(1-0,96^t))^3,02 Derivera funktionen och sätt lika med noll 0=0,96^t t=1/0,96=1,04 Svar: 1,04 månader
Svar För att få fram fiskens optimala storlek, då den är som tyngst, gäller det att derivera funktionen Vtot=N×V(l) och sedan sätta funktionen lika med noll för att få den optimala tiden t. Då får man fram att fisken blir som störst då den är i dammen i 1,04 månader.
Diskussion Alla fisksorter har olika snabb tillväxtshastighet, och denna tillväxtkurva ger olika svar beroende på art!