Mekanik II lektion 2 Staffan Yngve

Start med ett problem Problem A 100-kg cylindrical disk is at rest when the force F is applied to a cord wrapped around it. The static and kinetic coefficients of friction between the disk and the surface equal 0.2. Determine the angular acceleration of the disk if (a)F = 500 N and (b) F= 1000 N

Påpekande av Allan Hallgren OBSERVERA dock att (nät)lösningarna i många fall kan betraktas som ’dåliga lösningar’, och skulle t.ex. ej ge full poäng på en tentamen. Lösningen på nätet till är exempel på en sådan ’dålig lösning’, och detta gäller då inte så mycket fel riktning på friktionen i figuren (korrigerad med tecken i lösningen) som en del andra brister, t ex att man kan få för sig att f=F/3 såväl i a-uppgiften (rätt) som i b (fel)

Figur till F Radie 0.3 m Vilka ytterligare krafter?

Ytterligare krafter på cylindern F F mg N f har fel riktning på f

Argument för riktningen hos f Vid glidning: f skall motverka kontaktpunktens mot underlaget förflyttning. Ideal rullning inne- bär att ingen förflyttning sker av kontaktpunkt. Rullande cylinder: Om cylindern rullar ex vis ett halvt varv och en del av cylindern är litet för glatt för att rulla är det orimligt att friktionen skulle kasta om riktning Principen rörelseenergi-effekt kan också användas vid rullande cylinder (senare)

Kinetisk energi hos stel kropp Konstant riktning hos vinkelhastigheten antas T=mv 2 /2+Iω 2 /2 I är kroppens tröghetsmoment ω m i Kroppens masscentrum hastighet v I=∑m i ρ i 2 ρiρi

Rörelseenergi-effekt dT/dt=∑F P ●v P P v P (hastighet hos P) F P Obs! Stel kropp, inre krafters totala effekt lika med noll. Tidigare kurs v P =v (ren translation)

Rörelseenergi-effekt på Vid ren rullning är v P =2v (dubbla masscentrums- hastigheten P F Radie R d(mv 2 /2+Iω 2 /2)/dt=2Fv där I=mR 2 /2 (PH) Rω=v (rullningsvillkor) varav d(3mv 2 /4)/dt=2Fv varav F=0.75mdv/dt

Newtons andra lag i masscentrums rörelseriktning (18.42) F+f=mdv/dt Men F= 0.75 mdv/dt gör att f=0.25mdv/dt=F/3 Villkor för rullning är statisk friktion som uppfyller f≤μ s N där i vårt fall N=mg Villkor på F för rullning F/3 ≤μ s mg d v s F ≤3μ s mg, vilket gör att vi har rullning i fall (a) men ej i fall (b)

Rörelsemängdsmoment H=∑R i xm i v i R i är ortsvektorn för i:e partikeln relativt masscentrum. Stel kropp med vinkelhastighetens riktning konstant lika med z-riktningen H z =Iω z

Momentlagen (Eulers andra lag) dH/dt=M där M = ∑R P xF P R P P F P Masscentrum Summan av inre krafters kraftmoment är noll, endast yttre krafters kraftmoment medtas

Eulers första lag är ”Newtons andra” mdv/dt=∑F summan av yttre krafter Kroppens masscentrum hastighet v

Hur löser man ett stelkroppsproblem? B.2 1 september 2012: På många flygplatsterminaler finns det rullband för persontransporter. För en jäktad resenär som har kapacitet att springa 5.0 m/s kan ett rullband som rör sig med 1.00 m/s ge resenären en 20%-ig fartökning relativt terminalen. Filippa genomför ett experiment på ett horisontellt rullband som rör sig med farten v B. Filippa lägger ett homogent klot på rullbandet, vars längd är L. Friktionskoefficient mellan band och klot är μ. Bestäm tiden för klotet att röra sig sträckan L med lämpliga approximationer om klotets utgångsfart relativt terminalen är noll. Avgör speciellt om experimentet är någonting som är lämpligt för ovan beskrivna jäktade resenär. (5p) Numeriskt: v B =1.00m/s, L=100m, μ= 0.60.

B2, 1 september 2012 radieR ”Samma” problem löst på tavlan med hjälp av Euler I och Euler II Kulan får farten v B /(1+mR 2 /I) efter tiden t 1 där μgt 1 = v B /(1+mR 2 /I) där i detta fall mR 2 /I=5/2 som ger numeriskt t 1 ≈0.05 s (försumbar)

Enklare sätt? Finns det något snabbare sätt att få fram kulans fart relativt transportbandet, om man intuitivt förstår att det är en snabb procedur för kulan att nå en konstant fart relativt terminalen? Det enklare sättet innebär att man inte behöver räkna ut t 1. Svaret är ja, man kan använda momentlagen med avseende på en fix punkt., som kommer nu.