Mekanik II rep kurs lektion 3 Staffan Yngve

Momentlagen igen I kap 16 BF genomgicks momentlagen för en partikel, som kan skrivas dH O /dt=M O Här är m r v O H O =rxmv M O =rxF F är summan av yttre krafter på m

Rörelsemängdsmomentet forts Kropp total massa m=∑m i och masscentrums läge r=∑m i r i /m, hastighet v= ∑m i v i /m r i m i v i O r

Rörelsemängdsmoment med O som momentpunkt H O =∑r i xm i v i =rxmv+H H är rörelsemängdsmomentet med masscentrum som momentpunkt H oz =(rxmv) z +Iω z viktiga samband

Kraftmomentet på en kropp r P O F P M O =∑r P xF P

Eulers andra lag dH O /dt=M O O fix punkt i berättigat referenssystem eller masscentrum dH Oz /dt=M oz där dH Oz /dt=Idω z /dt+d(rxmv) z /dt Om masscentrum är momentpunkt slopas O dH z /dt=Idω z /dt där dω z /dt =α z α z är vinkelaccelerationen

Tillämpning där enbart Eulers andra lag behövs B.2 1 september 2012: På många flygplatsterminaler finns det rullband för persontransporter. För en jäktad resenär som har kapacitet att springa 5.0 m/s kan ett rullband som rör sig med 1.00 m/s ge resenären en 20%-ig fartökning relativt terminalen. Filippa genomför ett experiment på ett horisontellt rullband som rör sig med farten v B. Filippa lägger ett homogent klot på rullbandet, vars längd är L. Numeriskt: v B =1.00m/s, L=100m.

Vad efterfrågas i B2 1 sept 2012? Friktionskoefficient mellan band och klot är μ= Bestäm tiden för klotet att röra sig sträckan L =100 m med lämpliga approximationer om klotets utgångsfart relativt terminalen är noll och bandet rör sig 1 meter per sekund. Avgör speciellt om experimentet är någonting som är lämpligt för ovan beskrivna jäktade resenär. (5p)

B2 1 september 2012 radieR O ”Samma” problem löst på tavlan med hjälp av Euler I och Euler II med masscentrum som momentpunkt Kulan får farten v B /(1+mR 2 /I) efter tiden t 1 där μgt 1 = v B /(1+mR 2 /I) där i detta fall mR 2 /I=5/2 som ger numeriskt t 1 ≈0.05 s (försumbar)

Enklare med rätt fix momentpunkt Välj O fix i rummet så att horisontella linjen från O går genom kontaktpunkten klot/transportband. Det går också bra att ha en momentpunkt fix på bandet men det är lättare att villa bort sig med det valet.

Vilka krafter verkar på kulan ? N O f mg Friktionen f saknar kraftmoment m a p O. N och mg är motriktade och lika stora och med samma ”kraftarm”, varav följer att M O =0

Noll kraftmoment med avseende på O

Observandum Kraftmomentet m a p O är noll både om O är fix relativt transportbandet och i angiven fix punkt som är i vila i flygterminalen. M oz =0 innebär att dH Oz /dt=0 varav följer att H Oz (t)=H oz (t=0) där t är en godtycklig tidpunkt.

O fix relativt terminalen Om vi väljer O fix i rummet är H oz (t=0)=0. H oz (t)=(rxmv) z +H z (t)=(rxmv) z +Iω z Om t är en tidpunkt då rullning inträtt gäller v B - v(t)=Rω z om vi väljer z-axelns riktning sådan att ω z >0, varav följer att ω z (t)=(v B - v(t))/R (rullningsvillkor) och Iωz(t)=I(v B -v(t))/R =-(rxmv) z i vårt fall ty H oz (t)=0 Men -(rxmv) z =mRv(t) varav v(t)=v B /(1+mR 2 /I)=2v B /7 konstant efter det att rullning inträtt.

Tiden att röra sig sträckan L Den sökta tiden är L/v(t)=3.5L/v B (vi försummar då den mycket korta tid det tar att börja rulla). Numeriskt är 100-meterstiden 350 sekunder d v s 5 minuter och 50 sekunder (inte Usain Bolt precis) Tiden det tar att börja rulla är 0.05 s vilket är 0.14 promille av tiden att röra sig hela sträckan d v s den tiden är verkligen försumbar.

Eulers II lag, förlopp under kort tid dH Oz /dt=M oz Integrera över kort tid från 0 till τ ∫ 0 τ (dH Oz /dt)dt= ∫ 0 τ M oz dt varav H oz (τ)-H oz (0)= ∫ 0 τ M oz dt Om tiden är kort och M oz är måttlig gäller H oz (τ)≈H oz (0)

Klotet som läggs på bandet Under den första korta tiden innan klotet börjar rulla kan situationen vara ganska komplicerad. Som påpekades av en alert student kan ett visst kraftmoment förekomma innan rullning inträder. Det räcker dock med att kraftmomentet är måttligt under första korta tiden för att med god noggrannhet kunna bestämma v vid tidpunkten när klotet precis börjar rulla. Dock M oz =0 under rullning.

Pendelrörelse O r v=ωxr C (rxmv) z =mr 2 ω z H Oz =(I+mr 2 )ω z vid pendelrörelse upphängnings- punkt O.

Pendelrörelse fortsättning Man kan skriva H oz =I O ω z där I O =I+mr 2 vid pendelrörelse T=I O ω z 2 /2 vid pendelrörelse I O =I+mr 2 benämns parallellaxelteoremet eller Steiners sats Notera dock att H oz =Iω z +(rxmv) z är den allmänna formeln för en stelkropp