manada.se Kapitel 6 Linjära och exponentiella modeller

6.1 Linjära modeller

Värde ut Värde in Vad gör funktionsmaskinen? Vilken funktion har den? Hur kan man skriva funktionen? IN x UT y Formeln är en ekvation som beskriver ett samband mellan variablerna och. Sambandet är sådant att varje –värde entydligt bestämmer ett -värde. Vi säger att är en funktion av

René Descartes En fluga klättrar i taket Vi kan ange exakt vart flugan befinner sig på den tvådimenionella ytan genom att ange avståndet till två väggar om man har ett gemensamt hörn att utgå ifrån. x y z På liknande sätt kan vi ange flugans position i rummet med avståndet från till exempel två väggar och golvet

”Cogito, ergo sum” ”Jag tänker, alltså är jag till.” Stor fransk filosof och matematiker Började koppla ihop algebra och geometri på ett effektivt sätt i sitt koordinatsystem. Kom till Sverige för att undervisa drottning Kristina dog han i lunginflamation. Descartes och drottning Kristina Kartesiskt koordinatsystem

y x 1 1 1:a kvadranten 2:a kvadranten 3:e kvadranten 4:e kvadranten När vi mäter avstånd i koordinatsystemet så anger vi ofta längd och area i l.e. och a.e. Förkortningar för längdenhet och areaenhet.

Latitud och longitud är i princip ett kartesiskt koordinatsystem. Latitud ⟹ -koordinaten Longitud ⟹ -koordinaten Detta sätt att ange punkters position används även för att ange punkter (pixel) på en datorskärm. Pixelns adress uttrycks i koordinater: -koordinaten : den horisontella koordinaten -koordinaten: den vertikala koordinaten

8 En regel som till varje tillåtet -värde ger exakt ett -värde kallas en funktion. Vi säger då att y är en funktion av x

Linjär samband Direkt proportionell OrigO = (0,0)

En klassisk bild för att beskriva funktioner DefinitionsmängdVärdemängd Är de tal vilka vi kan få då vi matar in de värden som ingår i definitionsmängden i funktionen. Vi kan se det som de svar vi kan få av funktionen

14 y x x = 2 y = 3 (2,3) x = 5 y = 6 (5,6) 2 3 När definitionen är 2, så är värdet 3 När definitionen är 5, så är värdet 6 Definitionsaxel Värdeaxel

Med hjälp av en formel som du ställt upp själv eller som är given kan du ―göra en värdetabell ―rita en graf ―använda grafen för att besvara frågor Formler av typen y= 20x eller x+1 har en graf som är en rät linje. Med hjälp av en formel som du ställt upp själv eller som är given kan du ―göra en värdetabell ―rita en graf ―använda grafen för att besvara frågor Formler av typen y= 20x eller x+1 har en graf som är en rät linje.

17

18 Linjens lutning Värdetabell Funktion ⟺ Linjens ekvation

Vad blir funktionens värde då x är –4. Vad blir funktionens värde då x är 0.

6.2 Potenser

3∙3∙3∙3 ∙3∙3 ∙3∙3 ∙3∙3 ∙3∙3 = 3 12 Tolv stycken treor tal i potensform bas exponent

5 4 = 5∙5∙5∙5 = 625 (-3) 2 = (-3)∙(-3) = 9 (-1) 5 = (-1)∙(-1)∙(-1) = (-1) 0,4 2 = 0,4∙0,4 = 0, = 7

Jordens massa är kg 24 steg En elektron har massan 0, kg 31 steg

Prefix betyder fäst framför

6.3 Exponentiella modeller

En pingvinpopulation på 8000 pingviner ökar med 6,5 % per år. Tabellen beskriver ökningen. Tid (år)Antal pingviner × 1,065 ≈ × 1,065 2 ≈ × 1,065 3 ≈ 9664 …… t8000 × 1,065 t + 6,5% → vi har 106,5% → ff = 1,065 N = 8000 × 1,065 t N är antalet pingviner efter t år. N t

9 5 ⟹ basen 9 och exponenten 5

1. Du får en löneökning på 700 kr i månaden varje år. 2. Du får en löneökning på 3 % per år.

–18% → 82% kvar → ff = 0,82 → a = 0,82 Startvärdet är kr → C = Svar:

Svar: Traktorn är värd ca kr efter tio år. y x Vad kostar traktorn efter 25 år enligt denna modell?