1 Icke-linjär regression Sid (i kapitel 16.1)

2 Icke-linjära modeller Om någon av parametrarna i modellen (dvs  0,  1, …,  p ) har exponenter andra än 1 kallas det för en icke-linjär modell. Modellen för exponentiell tillväxt (med en förklarings- variabel) innebär följande regressionsekvation: Passar när responsvariabeln ökar eller minskar med en konstant procent, istället för med en konstant kvantitet, när x ökar med en enhet. (Ofta är x = tid.)

3 Exempel (från boken) Låt Y = försäljningen av en vara (i 1000-tals euro) och x = reklamutgifter (i 1000-tals euro) och anta att den genomsnittliga försäljningen kan relateras till reklamutgifterna enligt följande exponentiella modell. E(Y) = 500·1.2 x Alltså, om reklamutgifterna är 1000 euro (dvs om x = 1) så är den förväntade försäljningen E(Y) = 500·1.2 1 = 600 enheter, dvs euro. Om reklamutgifterna är 2000 euro (dvs om x = 2) så är den förväntade försäljningen E(Y) = 500·1.2 2 = 720 enheter, dvs euro. Notera att ökningen är 20% för varje ökning med 1000 euro av reklamutgifterna.

4 Hur skattas en exponentiell tillväxtmodell? En exponentiell tillväxtmodell kan skattas genom att vi tar (naturliga) logaritmen av y-variabeln. Sedan använder vi minsta-kvadrat metoden för att skatta en vanlig linjär regression med ln(Y) som responsvariabel och x som förklaringsvariabel. Vi får då följande skattade linjära regressionsekvation:

5 Hur skattas...? (forts) För att göra en prediktion av den ursprungliga responsvariabeln, Y, sätts först värdet på förklaringsvariabeln in i den skattade ekvationen och räknas ut. Sedan ”antiloggas” detta värde, dvs räknas ut. Detta är alltså vårt predikterade värde.

6 Exempel: Västerbottens läns BRP Låt Y = Västerbottens läns bruttoregionprodukt (BRP) per invånare i löpande priser (1000-tals kronor) och att man kan beskriva BRP- utvecklingen med en exponentiell tillväxtmodell med tid som förklaringsvariabel. Låt tid = 1 motsvara år Antag att vi har fått följande skattning OBS! “Påhittade”, men ganska rimliga värden… tror jag…

7 Forts exemplet: Prognos Vi vill nu göra en prognos för BRP 2008, dvs för tidpunkten t = 4 En prognos för logarimerad BRP blir: En prognos för BRP blir:

8 Forts exemplet: Tolkning av parametrarna b 0 = e ln(b0) = e 5.53 = Vid tidpunkt 0 (dvs 2004) var BRP:n per invånare I Västerbottens län b 1 = e ln(b1) = e = I genomsnitt så ökar BRP med 1.5% per år.

9 Icke-linjära modeller Många andra icke-linjära modeller kan ej transformeras till en linjär modell och sedan tillbaka igen som den exponentiella tillväxtmodellen kan. Sådana modeller ingår inte i denna kurs (är matematiskt krångliga att skatta osv) och är heller inte lika vanliga som som den exponentiella tillväxtmodellen i företags- ekonomiska och nationalekonomiska tillämpningar