Lars Madej

 Talmönster och talföljder  Funktioner

 Mönster: regelbundenhet, återkommande drag  Talföljd: en mängd med tal som följer på varandra Exempelvis: 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 2, 4, 6, 8, 10 3, 8, 7, 23, 19, 4, 2  Talföljder kan vara ändliga som i exemplen ovan. Talföljder kan också vara oändliga, vilket markeras med … Exempelvis0, 2, 4, 6, 8, 10, …

 Två intressanta typer av talföljder som är relevanta för skolan är aritmetiska och geometriska talföljder.  Här kan vi relativt enkelt urskilja mönster.  I kurslitteraturen finns fler talföljder med olika mönster, t.ex. kvadratiska

 En bra början är ofta att beskriva talföljden retoriskt (dvs med ord) för sig själv.  Talföljder kan beskrivas med två typer av formler: rekursiva formler och allmänna formler. ◦ Den rekursiva formeln beskriver sambandet mellan ett tal och de föregående talen. Det kan vara flera föregående tal, men oftast är det talet innan. (Minnestips: ”re-” betyder tillbaka, åter. Jfr ”retur” ”recycling” ”reverse”) ◦ Den allmänna formeln (även kallad generell formel) beskriver samtliga n stycken tal i en talföljd.

 Skriv de nästa fyra talen i talserierna a)0,2 0,5 0,8 1,1 … b)1,9 1,7 1,5 1,3 … c)0,2 0,4 0,6 … d)5,8 5,2 4,6 …  Skapa både en rekursiv och en allmän formel för talföljderna ovan.

 Är alla talföljder aritmetiska eller geometriska? ◦ Nej, många av de talföljder vi stöter på i t ex läroböcker är varken eller.  Kan alla talföljder beskrivas med en allmän formel eller en rekursiv formel? ◦ Nej, ibland går det inte och ibland är det svårt att bestämma dem.  Det måste du komma ihåg när du konstruerar egna uppgifter.

 Sambandet mellan mängderna X och Y i Exempel 2 definieras av formeln Y = X 2.  X brukar kallas för definitionsmängd och Y målmängd.  Exempel 2

 För att ett samband ska vara en funktion får ett tal i definitionsmängden (X) kopplas till ett och endast ett tal i målmängden (Y).  X=1 ger två olika Y. ◦ Ej en funktion!

 Ekvationer och formler ◦ y = 2x + 1 ◦ y = x 2  Retorisk form ◦ Tag ett tal. Multiplicera med 2. Addera 1. ◦ Tag ett tal. Multiplicera det med sig självt.

xy xy Tabeller

 Punkter och grafer i koordinatsystem

 Ett tal i en ekvation av första graden  Flera tal, till exempel i en andragradsekvation  Oändligt många tal i en olikhet  Vilket tal som helst vid omskrivning av ett uttryck  Vilket tal som helst i funktionsuttryck (det ena beror på det andra)  Men i geometrin kan AB vara sträckan AB och inte produkten AB som i algebran.

 Tolkning av bokstäver ◦ De betraktar inte bokstaven som ett generellt tal utan som ett bestämt tal, olika bokstäver betyder olika tal. ◦ Elever som accepterar att bokstäver betyder tal, kan ändå behandla dem som enheter istället för kvantiteter. Detta märks då elever inte tolkar bokstäverna utan bara knuffar ihop dem (eller tar bort dem); 2a + 3b får eleven till 5ab, 3a - a fås till 3. ◦ Elever förvirras av att bokstäver kan vara enheter och förkortningar men samtidigt en variabel. Uppgift a – variabeln a, förkortningen m för meter – variabeln m.

 Den formella metoden ◦ Problem med att uttrycka den metod de använder, delvis beroende på att de aldrig säger explicit vilka procedurer de använder sig av. ◦ De procedurer som barn använder för att lösa aritmetiska uppgifter är ofta av en informell karaktär som är svårt att uttrycka med symboler. ◦ Procedurerna kan vara så kontextberoende att de är svåra att överföra till andra uppgifter, eller så måste uppgiften läsas för att kunna tolka notationen. ◦ Matematik ses som ett empiriskt ämne som alltid leder fram till ett svar (då i form av ett numeriskt tal).

 Tolkning av bokstäver ◦ De betraktar inte bokstaven som ett generellt tal utan som ett bestämt tal, olika bokstäver betyder olika tal. ◦ Elever som accepterar att bokstäver betyder tal, kan ändå behandla dem som enheter istället för kvantiteter. Detta märks då elever inte tolkar bokstäverna utan bara knuffar ihop dem (eller tar bort dem); 2a + 3b får eleven till 5ab, 3a - a fås till 3. ◦ Elever förvirras av att bokstäver kan vara enheter och förkortningar men samtidigt en variabel. Uppgift a – variabeln a, förkortningen m för meter – variabeln m.

 Förståelse av notationer/konventioner ◦ Elever vill ha ett svar, ”a + 4” är inte ett svar utan en summa man skall göra något med. Elever kan då låta bli att svara, hitta på ett värde eller uppfinna en egen regel; a4 eller 4a. ◦ Elever struntar i parenteser (eftersom problemets kontext bestämmer ordningen av operationerna), saknas kontext utförs operationer från vänster till höger, eller tror att samma värde fås, oberoende av ordningen på operationerna. ◦ Notationsförvirring, 4y kan betyda ”4 stycken olika y” (dvs inte ”fyra gånger y”) eller 4+y

 Talmönster och talföljder ◦ Aritmetisk talföljd ◦ Geometrisk talföljd ◦ Allmänna och rekursiva formler ◦ Retoriska och algebraiska formler  Begrepp: uttryck, formel, ekvation, funktion  Fyra sätt att beskriva en funktion ◦ Retoriskt, formel, tabell, graf  Olika betydelser av en symbol  Likamedtecknets betydelse