1 Stokastiska variabler

2 Variabler En variabel är en egenskap hos en individ /objekt. En variabel kan, som vi tidigare sett, vara kvalitativ eller kvantitativ. –Exempel kvalitativ: Kön, bilmärke (icke-numerisk) –Exempel kvantitativ: Längd, inkomst, körsträcka En kvantitativ variabel kan vara antingen kontinuerlig eller diskret.

3 Diskreta variabler En diskret variabel är en variabel som bara kan anta vissa (ett uppräkneligt antal) värden. Exempel: –Antalet prickar som kommer upp då man kastar en tärning. –Antal barn i en familj. –Antal fiskar i en sjö. Observera att antalet möjliga värden som variabeln kan anta inte behöver vara ändligt.

4 Kontinuerliga variabler En kontinuerlig variabel är en variabel som, inom ett visst intervall, kan anta vilka värden som helst. Exempel: –En människas längd kan vara cm, eller cm. Inom t.ex. intervallet finns det inget värde som inte kan vara en människas längd.

5 Slumpvariabler En slumpvariabel (stokastisk variabel) är en variabel vars värde bestäms av utfallet i ett slumpmässigt försök. Definition: –En stokastisk variabel är en funktion definierad på ett utfallsrum.

6 Beteckningar Vi kommer att använda stora bokstäver (ofta X eller Y) för att beteckna slumpvariabler och små bokstäver för att beteckna värden på slumpvariabler. P(X=x), eller p(x), betyder alltså ”sannolikheten att slumpvariabeln X antar värdet x”.

7 Exempel Slumpmässig försök: Kasta ett mynt 3 gånger. Utfallsrum: S={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTH, TTT} Stokastisk variabel: X=antal krona (H)

8 Sannolikhetsfördelningar Den modell som visar vilka värden en s.v. kan anta och sannolikheterna för dessa värden brukar kallas för variabelns sannolikhetsfördelning.

9 Exempel (forts.) Antag att myntet är skevt så att P(H)=0.6, P(T)=0.4 Det innebär att… P(X=3) = P(HHH) = 0.6×0.6×0.6=0.216 P(X=2) = P(HHT)+P(HTH)+P(THH) = 0.6×0.6× ×0.4× ×0.6×0.6= =0.432 P(X=1)= osv… xP(X=x)

10 Väntevärde och varians Sannolikhetsfördelningar för olika s.v. kan skilja sig åt på många sätt. De kan t.ex. ha olika –läge –spridning –snedhet –toppighet

11 Väntevärde Ett mått på en fördelnings läge är det förväntade värdet, eller väntevärdet. Om variabeln är diskret definieras variabelns väntevärde av

12 Variansen Som mått på spridning används ofta variansen eller standardavvikelsen. Om variabeln är diskret definieras variansen av

13 Vid beräkning av variansen är ofta följande relation användbar

14 Standardavvikelsen Standardavvikelsen för en stokastisk variabel definieras som