Ladda ner presentationen
Presentation laddar. Vänta.
1
Viktig förberedelse för mer avancerad problemlösning Verktyg för att underlätta beräkningar Och jo, man har nytta av algebra, men ofta arbetar vi med retorisk algebra utan symboler!
2
Barn och algebra Lite historia Vad är skolalgebra? Olika uttrycksformer Likhetstecknet Uttryck/Formel/Ekvation/Funktion Aritmetisk och geometrisk talföljd
3
Problemlösning Generaliserad aritmetik Problemlösning Studera relationer Generaliserad aritmetik Lgr11, år 1-3 om algebra: Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas Lgr11, år 4-6 om algebra: Obekanta tal och deras egenskaper … Enkla algebraiska uttryck och ekvationer … Metoder för enkel ekvationslösning Hur mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas
4
De hade en ”retorisk algebra”, algebra uttryckt med ord – på sin höjd med ordförkortningar Algebran hade en väldigt stark praktisk koppling: ◦ Om det fanns två obekanta kallades de för ”längd” och ”bredd”, produkten för ”area”. ◦ Fanns det tre obekanta kallades de för ”längd”, ”bredd” och ”höjd”, produkten för ”volym”. Retorisk algebra användes sedan av såväl kineser som egyptier.
5
Algebran utvecklas av grekerna till ”synkoperad algebra”, där man använde ord för att lösa uppgiften, men med speciella symboler för att minska ned på antalet ord.
7
Den persiske matematikern (och poeten) Omar Khayyam (ca 1048-1122) definierade till slut en klar gräns mellan aritmetik och algebra: ◦ ”bruket av ekvationer för att finna de obekanta talen med hjälp av polynom” ◦ (polynom = bokstavsbeteckning för variabel som kan ha potenser) Därigenom skapades den symboliska algebran
8
Under renässansen (1300-1600) lyckades italienska matematiker lösa ännu flera typer av ekvationer och började ersätta retoriska lösningar med lösningar med förkortningar. Francois Viete (1540-1603) använde vokaler för att beteckna okända tal och konsonanter för kända storheter. Descartes (1596-1650) använde bokstäver i början av alfabetet för kända storheter och bokstäver i slutet för okända tal.
9
Fyra aspekter: ◦ Verktyg för problemlösning Symbolen betecknar ett obekant tal eller en konstant Handlar om att lösa och förenkla ◦ Generaliserad aritmetik Symbolen används för att beskriva mönster Handlar om att översätta och generalisera ◦ Studera relationer Symbolen betecknar en variabel eller parameter Handlar om att relatera (t.ex. genom en graf) ◦ Studera strukturer (kommer vi inte att behandla)
15
En matematisk utsaga som innehåller en likhet. En ekvation innehåller ofta en eller flera obekanta som vanligtvis betecknas med x, y, eller z. En lösning till en ekvation är ett eller flera tal som gör att det vänstra ledet (VL) är lika med högra ledet (HL).
16
2 + 3 = 5 (variabeln syns inte och kan anta vilket värde som helst) a + b = b + a 8x – 13 = 3 7x – y = 14 x 2 – 3x + 2 = 0 Obs! Antalet lösningar kan vara noll, en, två eller flera!
17
Symbolen ”=” markerar att VL och HL är exakt lika. Detta är den enda korrekta innebörden! En vanlig metafor är balansvågen. Här är ett exempel ur en lärobok för åk 3.
18
Det är vanligt att likhetstecknet (helt felaktigt) får symbolisera andra saker, exempelvis: 2 + 3 = (blir) 5, någonting ”händer” = är en ”operator” 100 % = 300 kr 50 % = 150 kr Använd istället ordet ”motsvarar” eller : 25 % = 75 kr Olika steg i en uträkning 20 + 7 = 27 + 10 = 37 + 3 = 40 + 5 Så här får du som lärare aldrig redovisa lösningar. Var noga med hur du använder likhetstecknet. Tänk igenom dina redovisningar i förväg.
19
Notera även vilka uttrycksformer som förekommer. (här är det handen som symboliserar det obekanta)
24
Många av er har säkert lärt er ekvationslösning genom att: ”flytta på andra sidan likamed och byt tecken”. Skapar det en förståelse för vad man egentligen gör? Balansvågsmetaforen skapar förståelse, sedan när man förstått, då är man redo att lära sig genvägarna och förenklingarna. Alltså: Lyckas ni få eleven att förstå vad likhetstecknet verkligen betyder, blir ekvationslösning rätt enkelt!
26
Tänk på prioriteringsreglerna och att vi räknar baklänges ◦ Vi ska ju hitta vilket tal som ger oss ”rätt” beräkning Förenkla Manipulera båda sidor Förenkla igen Manipulera båda sidor O.s.v.
28
Framhäver olika aspekter och beror på abstraktionsförmåga ◦ Fysiskt (arbeta med konkreta objekt) Fördela 14 kulor i tre lika stora högar ◦ Bilder (antingen bilder av föremål eller tänkta bilder) ◦ Verbalt (retoriskt) Beskriv med ord hur du tänker ◦ Numeriskt Gör sifferexempel (kvantitativt) ◦ Symboliskt Med algebraiska symboler (manipulativt) OBS! Detta är ett exempel på hur man kan se på det! Det finns andra indelningar av aspekter.
29
Behöver absolut inte vara identisk information! ◦ Ibland tappar vi information ◦ Ibland får vi mer information Den som är flexibel mellan olika uttrycksformer kan lättare lösa sammansatta matematiska problem!
32
Sambandet mellan mängderna X och Y i Exempel 2 definieras av formeln Y = X 2. X brukar kallas för definitionsmängd och Y målmängd. Exempel 2
33
För att ett samband ska vara en funktion får ett tal i definitionsmängden (X) kopplas till ett och endast ett tal i målmängden (Y). X=1 ger två olika Y. ◦ Ej en funktion!
34
Ekvationer och formler ◦ y = 2x + 1 ◦ y = x 2 Retorisk form ◦ Tag ett tal. Multiplicera med 2. Addera 1. ◦ Tag ett tal. Multiplicera det med sig självt.
35
xy 01 13 25 37 xy 1 00 11 24 39 Tabeller
36
Punkter och grafer i koordinatsystem
38
Mönster: regelbundenhet, återkommande drag Talföljd: en mängd med tal som följer på varandra Exempelvis: 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 2, 4, 6, 8, 10 3, 8, 7, 23, 19, 4, 2 Talföljder kan vara ändliga som i exemplen ovan. Talföljder kan också vara oändliga, vilket markeras med … Exempelvis0, 2, 4, 6, 8, 10, …
39
Två intressanta typer av talföljder som är relevanta för skolan är aritmetiska och geometriska talföljder. Här kan vi relativt enkelt urskilja mönster.
40
En följd av tal där differensen mellan ett tal i följden och det närmast föregående alltid är lika stor. Exempel 1 0, 1, 2, 3, 4, 5 Exempel 21, 4, 7, 10, 13, 16, 19
41
En följd av tal där kvoten mellan ett tal i följden och det närmast föregående alltid är lika stor. ◦ Exempel 11, 2, 4, 8, 16, 32 ◦ Exempel 21, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81
42
En bra början är ofta att beskriva talföljden retoriskt (dvs med ord) för sig själv. Talföljder kan beskrivas på två sätt: rekursivt respektive allmänt. Rekursivt beskriver sambandet mellan ett tal och de föregående talen. Det kan vara flera föregående tal, men oftast är det talet innan. (Minnestips: ”re-” betyder tillbaka, åter. Jfr ”retur” ”recycling” ”reverse”) En allmän beskrivning (även kallat generellt) beskriver samtliga n stycken tal i en talföljd.
43
2, 7, 12, 17, 22, … Retoriskt (rekursivt): ◦ Talföljden börjar med 2. för varje nytt tal lägger vi till 5.
44
3, 9, 27, 81, 243 … Retoriskt: ◦ Börja med talet 3. För varje nytt tal multiplicera det föregående med 3.
46
Är alla talföljder aritmetiska eller geometriska? ◦ Nej, många av de talföljder vi stöter på i t ex läroböcker är varken eller. Kan alla talföljder beskrivas med en allmän formel eller en rekursiv formel? ◦ Nej, ibland går det inte och ibland är det svårt att bestämma dem. Det måste du komma ihåg när du konstruerar egna uppgifter.
48
Ett tal i en ekvation av första graden Flera tal, till exempel i en andragradsekvation Oändligt många tal i en olikhet Vilket tal som helst vid omskrivning av ett uttryck Vilket tal som helst i funktionsuttryck (det ena beror på det andra) Men i geometrin kan AB vara sträckan AB och inte produkten AB som i algebran.
50
Suggate kap 9 Symbolisk/Retorisk algebra Vad är skolalgebra? ◦ Algebra som problemlösningsverktyg ◦ Algebra för att studera relationer ◦ Algebra som generaliserad aritmetik Olika uttrycksformer Likhetstecknets betydelse Uttryck/Formel/Ekvation/Funktion Aritmetisk och geometrisk talföljd
Liknande presentationer
