Matematik och musik Matematiken i vår omvärld En föreläsning i kursen

En presentation över ämnet: "Matematik och musik Matematiken i vår omvärld En föreläsning i kursen"— Presentationens avskrift:

1 Matematik och musik Matematiken i vår omvärld En föreläsning i kursen
Jesper RYDÉN Tekn dr i matematisk statistik Matematiska institutionen Uppsala universitet

2 Föreläsningens innehåll:
Matematik för att beskriva ”ljud” (och i förlängningen, musik). Musikinstrument: hur kan matematik beskriva dessa? Kompositioner: Hur har tonsättare utnyttjat matematiska strukturer i sitt konstnärsskap?

3 Matematiska begrepp Exempel på begrepp som kommer användas/beröras:
logaritmer bråk sinusfunktioner exponentialfunktioner differentialekvationer

4 Citat av Helmholtz: Mathematics and Music, the most sharply
contrasted fields of intellectual activity which one can discover, and yet bound together … Hermann von Helmholtz ( )

5 Kvantitativ analys? Tonsättare Lyssnare Noter Ljudförlopp Musiker

6 Vad menas med LJUD? Ljud motsvaras fysikaliskt av
lufttrycksvariationer. Trumhinnevibrationer En TON: regelbundna variationer, periodiska förlopp Buller, brus: operiodiska förlopp

7 Periodiska förlopp Amplitud Frekvens Period Sinusformad kurva

8 Ljudutbredning LONGITUDINELL vågutbredning:
Luftpartiklar knuffas fram och åter i utbredningsriktningen. SFÄRISK utbredning: punktformig, lika bra åt alla håll (jfr. glödlampa) PLAN utbredning: på tillräckligt stort avstånd från ljudalstraren (ex. trånga rör, blåsinstrument)

9 Ljudstyrkor i praktiken

10 ”Ljudstyrka”? Ljudtryck mäts i Pa (N/m²)
Ljudtrycksnivå mäts i dB relativt referensen 20 µPa Ljudintensitet mäts i Watt per kvadratmeter, W/m² Ljudintensitetsnivå mäts i dB relativt referensen 1 pW/m² Värdena för ljudtrycksnivå och ljudintensitetsnivå sammanfaller under normala förhållanden (tryck, temperatur, plan eller sfärisk våg etc). Man talar därför bara ofta om ljudnivå. Ännu allmännare: ljudstyrka (ljudnivå, ljudintensitet och ljudtryck).

11 Ljudtryck och dB

12 Spektrum m.m. Varje periodisk vågform kan betraktas som uppbyggd av en serie enkla sinusfunktioner med givna frekvenser, amplituder och faser Matematisk disciplin: Fourieranalys Olika musikinstrument genererar olika spektra JBJ Fourier ( )

13 Fourierutveckling

14 Superposition

15 Deltoner Deltoner bidrar till klangfärg
De flesta musikinstrument: heltalsmultiplar av lägsta frekvensen Harmoniskt spektrum Oharmoniskt spektrum (vissa slaginstrument)

16 Samma ton, olika instrument
Stämgaffel Violin Oboe Tid

17 Spektrum Klarinett, låg ton:

18 Spektrum Klarinett, hög ton:

19 Svävningar Två toner ljuder med nästan samma frekvens
Medfas och motfas Matematiskt begrepp: Superposition

20 Svävningar Fenomenet används i orgelstämmorna
”Voix céleste” (himmelsk röst) och ”Unda maris” (havsvåg)

21 Intervaller och frekvenser
Ett intervall motsvaras av ett frekvensförhållande! Naturtonserien till tonen A

22 Resonans Mekaniska system som fungerar som
resonatorer: massa, fjädring, dämpning Exempel: bil, lokal, flöjt, violin, … Resonator svänger helst på vissa frekvenser, resonansfrekvenserna. Differentialekvation

23 Resonans och dämpning Dämpning beror på förluster Reflektioner
Läckage (ex. rörändar) Exempel, små förluster: pianosträng; större förluster: fiolsträng (pizz.) Pizzicatospel

24 Hur klassificera dämpning?
Hur hastigt dör en ton vid resonansfrekvens ut? Hur stor frekvensändring behövs på ömse sidor om resonansfrekvensen för att ljudnivån i resonatorn ska sjunka 3 dB?

25 Resonanskurvor

26 Ansats och avklingning

27 Ansats och avklingning
B betecknar bandbredden e är Eulers tal: 2,71828…

28 Den tid det tar för ljudet att avta 60 dB.
Efterklangstid Den tid det tar för ljudet att avta 60 dB.

29 Begrepp från rumsakustik
Reflektioner ger upphov till resonanser Eko: det reflekterade ljudet uppfattas som i tiden skilt ifrån det ursprungliga (100 ms isär i tiden) Efterklang: reflekterande ljudet når lyssnaren hastigare än efter 100 ms Absorption: ljudenergi förloras vid reflektionerna (materialberoende) Luftabsorption: liten, men tilltar med stigande frekvens

30 Efterklang: rumsvolym och frekvens
Sabines formel:

31 Efterklangsradie På långt avstånd från ljudkällan dominerar efterklangsljudet Nära ljudkällan dominerar direktljudet Vid ett visst avstånd – efterklangsradien – är direktljud och efterklangsljud lika starka. Rumsvolym Efterklangsradie Efterklangstid

32 Stränginstrument System med flera resonatorer (strängen själv samt resonans- eller klanglåda) Anslagna strängar (piano) Knäppta strängar (gitarr, harpa) Stråkinstrument (violin, viola, cello, kontrabas)

33 Svängande sträng Resonansfrekvenser:
(Första grunderna, Marin Mersenne ( ))

34 Bakgrund: Partiella differentialekvationer
”Vågekvationen”: Allmän lösning: Randvillkor, fasta ändpunkter:

35 Vibrerande sträng

36 Totalt sluten pipa Snarare modell för ett rum än ett musikinstrument

37 Pipa, öppen i ena änden

38 Öppen pipa

39 Pukor, trummor Vågekvationen Polär form (cirkulärt membran)
Allmän lösning: Besselfunktion

40 Kombinationstoner Frekvenser som uppfattas av hörseln
Ligger lägre än de reella tonerna som alstrar dem Tillämpning: Stora orgelpipor. Spara plats, material, luftåtgång (och pengar). 32-fotsstämma: djupaste frekvens ca 16 Hz

41 Täckt 32-fotspipa First Presbyterian Church, Ithaca NY, USA

42 Bourdon 32’ Katarina kyrka, Stockholm

43 Fibonaccital Leonardo av Pisa (Fibonacci), 1200-talet. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 43, 55, 89, 144, . . . Talserien erhålls ur

44 Gyllene snittet Relaterat till Fibonaccital via ett gränsvärde:

45 Gyllene snittet Geometriskt förhållande:

46 Béla Bartók Ungersk tonsättare (1881-1945)
Utnyttjar gyllene snittet (GS) och Fibonaccital (FT) som kompositionstekniker

47 Kompositionsteknik Harmonik Intervallstruktur Formbyggnad

48 GS: Intervall

49 GS: Form Huvudtema (43,5 takter långt) Sats III ur
Sonat för två pianon och slagverk

50 FS: Form Musik för stråkar, slagverk och celesta Sats 1

51 Mozart och GS GS återfinns i flera av Mozarts pianosonater
Medvetet? Konsekvens av den s.k. sonatformens konstruktion?

52 Litteratur jag använt Sundberg, Johan (1989): Musikens ljudlära. Proprius. Ulin, Bengt (2003): Matematik och musik. Ekelunds förlag. Benson, Dave (2004): Mathematics and Music. Bokmanus. Lendvai, Ernö (1971): Béla Bartók. An analysis of his music. Kahn and Averill. Putz, John F (1995): The golden section and the piano sonatas of Mozart. Mathematics Magazine 68: Rydén, Jesper (2007): Statistical analysis of the golden-ratio form in piano sonatas by Mozart and Haydn. The Mathematical Scientist 32 (to appear). Alm, Jeremy F och Walker, James S (2002): Time-frequency analysis of musical instruments. SIAM Review 44: Archibald, R.C. (1924): Mathematicians and music. The American Mathematical Monthly 31:1-25. INTERNET: