Ängelproblemet Johan Wästlund. Ängel = Schackpjäs med ändlig räckvidd.

En presentation över ämnet: "Ängelproblemet Johan Wästlund. Ängel = Schackpjäs med ändlig räckvidd."— Presentationens avskrift:

1 Ängelproblemet Johan Wästlund

2 Ängel = Schackpjäs med ändlig räckvidd

3 Ängel och djävul-spelet  Djävulen äter en ruta  Ängeln flyttar sig  Ängeln kan inte gå till en uppäten ruta Kan Djävulen fånga Ängeln?

4 Exempel: “Duke”

5 En “duke” kan fångas in

6 Ängelproblemet  Elwyn Berlekamp visade 1980 att även en kung går att fånga  En “ängel” som kan gå 1000 steg i valfri riktning går förstås inte att fånga…?  Många matematiker försökte konstruera vinnande strategier utan att lyckas

7 Ängelproblemet  Finns någon ängel (schackpjäs) som inte kan fångas in?  John Conway 1994:  $1000 Bevis för att Djävulen alltid vinner  $100 Bevis för att någon ängel kan klara sig

8 Lösning 2006  Oddvar Kloster  Péter Gács  Brian Bowditch  András Máthé  En tillräckligt stark ängel klarar sig!

9 Varför är ängelproblemet svårt? Ängeln måste ta hänsyn till mycket avlägsna drag av djävulen

10 Snabb ängel fångas av bakhåll

11 Långsam ängel fångas av avlägsen vägg

12 Máthés bevis  Bakhåll = Djävulen äter en ruta där ängeln står eller tidigare har stått  Snäll Djävul = Djävul som aldrig gör bakhåll Máthé: Om en Djävul kan vinna, så kan en snäll Djävul vinna

13 Máthés bevis Bevis: Antag att Djävulen kan vinna genom att i ett visst drag göra ett bakhåll. Då kan han i stället göra ett annat drag. Om ängeln senare går till rutan som skulle ha ätits, kan Djävulen spela som om det var första gången ängeln kom till denna ruta.

14 Máthés bevis Konsekvens: För att bevisa att en ängel kan vinna, räcker att visa att den kan vinna mot en snäll djävul!

15 Kung på triangulärt bräde

16 Strategi:

17

18

19 Om en snäll djävul vinner, måste den omringa hela kungens väg

20 Beräkning visar att detta är omöjligt!  Ängeln går längs en vägg dubbelt så fort som djävulen bygger den.

21 Slutsats:  Pekfingerstrategin vinner mot snäll djävul  Alltså existerar vinnande strategi mot riktig djävul Resonemanget visar dock inte hur denna strategi ser ut!

22 På vanligt schackbräde:

23

24 Ängel på vanligt schackbräde som simulerar en kung på triangulärt bräde:

25  Detta är den svagaste kända vinnande ängeln (14 rutor)  Öppet problem: Klarar sig en schackhäst?  Mer om ängelproblemet, se google och wikipedia!

26 Tack!