Manada.se Kapitel 6 Linjära och exponentiella modeller.

En presentation över ämnet: "Manada.se Kapitel 6 Linjära och exponentiella modeller."— Presentationens avskrift:

1 manada.se Kapitel 6 Linjära och exponentiella modeller

2 6.1 Linjära modeller

3 Värde ut Värde in Vad gör funktionsmaskinen? Vilken funktion har den? Hur kan man skriva funktionen? IN x UT y 13 25 37 49 511 Formeln är en ekvation som beskriver ett samband mellan variablerna och. Sambandet är sådant att varje –värde entydligt bestämmer ett -värde. Vi säger att är en funktion av

4 René Descartes 1596-1650 En fluga klättrar i taket Vi kan ange exakt vart flugan befinner sig på den tvådimenionella ytan genom att ange avståndet till två väggar om man har ett gemensamt hörn att utgå ifrån. x y z På liknande sätt kan vi ange flugans position i rummet med avståndet från till exempel två väggar och golvet

5 ”Cogito, ergo sum” ”Jag tänker, alltså är jag till.” Stor fransk filosof och matematiker Började koppla ihop algebra och geometri på ett effektivt sätt i sitt koordinatsystem. Kom till Sverige för att undervisa drottning Kristina 1649. 1650 dog han i lunginflamation. Descartes och drottning Kristina Kartesiskt koordinatsystem

6 y x 1 1 1:a kvadranten 2:a kvadranten 3:e kvadranten 4:e kvadranten När vi mäter avstånd i koordinatsystemet så anger vi ofta längd och area i l.e. och a.e. Förkortningar för längdenhet och areaenhet.

7 Latitud och longitud är i princip ett kartesiskt koordinatsystem. Latitud ⟹ -koordinaten Longitud ⟹ -koordinaten Detta sätt att ange punkters position används även för att ange punkter (pixel) på en datorskärm. Pixelns adress uttrycks i koordinater: -koordinaten : den horisontella koordinaten -koordinaten: den vertikala koordinaten

8 8 En regel som till varje tillåtet -värde ger exakt ett -värde kallas en funktion. Vi säger då att y är en funktion av x -21 0 01 12 23 34 45 56

9 0 3 1 5 2 7 3 9 -2 -3

10

11

12 Linjär samband Direkt proportionell OrigO = (0,0)

13 En klassisk bild för att beskriva funktioner DefinitionsmängdVärdemängd Är de tal vilka vi kan få då vi matar in de värden som ingår i definitionsmängden i funktionen. Vi kan se det som de svar vi kan få av funktionen

14 14 y x x = 2 y = 3 (2,3) x = 5 y = 6 (5,6) 2 3 När definitionen är 2, så är värdet 3 När definitionen är 5, så är värdet 6 Definitionsaxel Värdeaxel

15 Med hjälp av en formel som du ställt upp själv eller som är given kan du ―göra en värdetabell ―rita en graf ―använda grafen för att besvara frågor Formler av typen y= 20x eller x+1 har en graf som är en rät linje. Med hjälp av en formel som du ställt upp själv eller som är given kan du ―göra en värdetabell ―rita en graf ―använda grafen för att besvara frågor Formler av typen y= 20x eller x+1 har en graf som är en rät linje.

16

17 17

18 18 Linjens lutning Värdetabell 1 03 15 Funktion ⟺ Linjens ekvation

19 Vad blir funktionens värde då x är –4. Vad blir funktionens värde då x är 0.

20 6.2 Potenser

21 3∙3∙3∙3 ∙3∙3 ∙3∙3 ∙3∙3 ∙3∙3 = 3 12 Tolv stycken treor 3 12 - tal i potensform bas exponent

22 5 4 = 5∙5∙5∙5 = 625 (-3) 2 = (-3)∙(-3) = 9 (-1) 5 = (-1)∙(-1)∙(-1) = (-1) 0,4 2 = 0,4∙0,4 = 0,16 7 1 = 7

23

24

25

26

27 Jordens massa är 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg 24 steg En elektron har massan 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg 31 steg

28

29 Prefix betyder fäst framför

30

31 6.3 Exponentiella modeller

32 En pingvinpopulation på 8000 pingviner ökar med 6,5 % per år. Tabellen beskriver ökningen. Tid (år)Antal pingviner 08000 18000 × 1,065 ≈ 8520 28000 × 1,065 2 ≈ 9074 38000 × 1,065 3 ≈ 9664 …… t8000 × 1,065 t + 6,5% → vi har 106,5% → ff = 1,065 N = 8000 × 1,065 t N är antalet pingviner efter t år. N t

33 9 5 ⟹ basen 9 och exponenten 5

34

35 1. Du får en löneökning på 700 kr i månaden varje år. 2. Du får en löneökning på 3 % per år.

36

37 –18% → 82% kvar → ff = 0,82 → a = 0,82 Startvärdet är 372 000 kr → C = 372 000 Svar:

38 Svar: Traktorn är värd ca 51 000 kr efter tio år. y x Vad kostar traktorn efter 25 år enligt denna modell?