Föreläsning 2, 050830 Vektorer! (I vanliga fall är boken vår primära litteratur, men för just detta avsnitt är dessa bilder tänkt att ersätta bokens kapitel 2) Definitioner Summa och differens av vektorer Vektorkoordinater Skalärt produkt ’prickprodukt’ Vektorprodukt ’kryssprodukt’ Vektorfunktioner Gradientvektor Räkneövningar i morgon onsdagen den 31 augusti: Inlämningsuppgifter: Se separat blad: IU2 Räkneövningsuppgifter: RÖ2: Exercises E2: 8, 27, 39, 49 Problems P2: 11 Dessutom uppgiften på separata bladet RÖ2

Vektorer: Många fysikaliska storheter går att beskriva med ett enkelt tal (och en enhet). Detta gäller t. ex. Massa, laddning, energi, temperatur, etc….. Dessa storheter kallas för skalärer. I många andra fall är det inte så enkelt. Hastighet, kraft, acceleration, rörelsemängd, förflyttning, etc….. Är storheter, där det inte hjälper mycket att veta storleken om man inte också vet riktningen. Alla dessa storheter är vektorer och måste beskrivas mha den vektoralgebra som ni ska lära er i denna kurs.

FEL! Exempel: Tänk er följande enkla fysik-uppgift: En kloss med massan M=2 kg ligger på ett bord. Klossen påverkas av en kraft på 10N. Vad blir klossens acceleration? Enkelt (eller? - se upp nu!) om man inte har glömd bort Newtons andra lag som säger att F=ma (Kraften är massan gånger accelerationen). Svaret är alltså att accelerationen är 5 m/s2. FEL! Man måste veta kraftens riktning!!!

Kraftens riktning är avgörande!! Kraft är en vektor!! ???

Pil-representation av vektor En vektor kan representeras som en pil med en längd som relaterar till storleken av vektor-storheten och en riktning som motsvarar vektorstorhetens. A eller A är vanlig notation för en vektor. En parallell pil med samma längd är representation av samma vektor. |A| är längden av vektorn A

Kan vi räkna med vektorer?? - Ja!! Multiplikation med ett tal: A 3A -A=(-1)A 0=(0)A (noll-vektoren)

En summa av två vektorer definieras så här: B A C=A+B Kommutativa lagen: (A+B=B+A) A B C=A+B A C=B+A B

Differensen mellan två vektorer: A-B=A+(-B) C=A+B D=A-B =A+(-B) -B B D=A-B A

Vektorkoordinater Vektorer med längd én kallas för enhetsvektorer. Låt i och j vara enhetsvektorer som är vinkelrätta mot varandra. Dessa kan då definiera ett koordinatsystem. y Vi kan då skriva: A=Axi+Ayj Koordinaterna Ax och Ay är ett annat sätt att beskriva vektorn A A j i x Vi vill identifiera vektorn med dens koordinater: A=(Ax,Ay)

Vektorkoordinater Tal gånger vektor: rA=r(Axi+Ayj)=rAxi+rAyj På koordinatform: r(Ax, Ay)=(rAx,rAy) Vektorsumma: A+B= Axi+Ayj+ Bxi+Byj= (Ax+ Bx)i+(Ay+By)j På koordinatform: (Ax, Ay)+(Bx, By)=(Ax+ Bx,Ay+By) Exempel: (2,3)+(2,1)=(4,4), 5(2,1)=(10,5), (6,2)-(3,3)=(3,-1), etc….

Vad kan vi om vektorer? A 3A Produkt av tal och vektor: Summa av två vektorer: Differens mellan två vektorer: B A C=A+B -B B D=A-B A

Koordinatrepresentation: Vi kan även beskriva en vektor med koordinater x y j i A A=Axi+Ayj Alternativ notation: A=(Ax,Ay) Produkt av tal och vektor: rA= r(Ax,Ay)= (rAx,rAy) Summa av två vektorer: A+B=(Ax,Ay)+(Bx,By)=(Ax+Bx,Ay+By) Differens mellan två vektorer: A-B=(Ax,Ay)-(Bx,By)=(Ax-Bx,Ay-By)

Enhetsvektorer, enhetscirkel och vinklar. a=c sin  b=c cos  y  Vinkel i radian: Avståndet längs enhetscirkeln från x-axlen till ändpunkten för enhetsvektorn e: 1 varv = 2 rad = 360o enhetscirkeln sin  e enhetsvektorn e cos  x

Två sätt att beskriva en vektor: y Längd och riktning |A|=A,  x- och y-koordinater Ay A  x Ax Om |A| och  är kända: Ax= |A|cos  och Ay= |A|sin  Om Ax och Ay är kända: |A|= och  fås genom (t. ex) cos = Ax/|A|

Exempel En färja befinner sig vid punkten I på figuren intill. För att ta sig till hamnen (vid punkten III) måste man åka 5.0 km rakt mot nord (från I till III). På grund av ett språkligt missförstånd (Kaptenen är dansk och navigatören svensk) åker man i stället mot nordost. Efter 4.5 km har man nått punkten II, felet upptäcks och man ändrar kurs och åker raka vägen från II till III. A: Hur långt har man att åka från punkt II till hamnen (punkt III)? B: Vad är vinkeln mellan den riktning man ska åka i och x-axlen?

Lösning Skriv A och B på koordinatform Beräkna C = A - B Räkna om C till längd och riktning. C A B

Lösning (fortsatt) A=(0,5) B=(4.5 cos , 4.5 sin )= (4.5, 4.5) C=A-B=(- 4.5, 5- 4.5) Avstånd till hamnen: |C|= Vinkel mot x-axlen: cos =Cx/|C|=-0.8683 =150.3º =3.66 km

Skalärt produkt mellan två vektorer Definierar den skalära produkten A·B (’A prick B’): A·B=|A||B|cos , där  är vinkeln mellan A och B. A·B är alltså ingen vektor, utan ett vanligt tal. (arbetet som en kraft F utför på en partikel som flytter sig enligt förflyttningsvektorn s är W=F · s) A  B Om A och B är parallella (= 0º) är cos = 1 och A·B=|A||B| Om A och B är vinkelrätta (= 90º) är cos = 0 och A·B=0 För enhetsvektorerna gäller då: i · i = j · j = 1 och i · j = 0

Några exempel En vektors skalära produkt med sig själv: A·A=|A||A|cos 0=|A||A|=A2. En vektors skalära produkt med enhetsvektor: A·i=(Axi+Ayj) ·i =Ax i·i +Ay i·j=Ax. VIKTIGT: Skalära produkten mellan två vektorer på koordinatform A·B=(Axi+Ayj)·(Bxi+Byj) =AxBxi·i+AyByj·j+AxByi·j+AyBxj·i =AxBx+AyBy.

Vinkeln mellan två vektorer: B=(1,3) A=(2,2) A·B=AxBx+AyBy.=2·1+ 2·3=8 A·B=|A||B|cos  cos = =26.6

I 3 dimensioner! z Världen är tre-dimensionell! Vi kan enkelt generalisera till 3D: A= Axi+Ayj+Azk A+B=(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz) A·B=AxBx+AyBy+AzBz=|A||B|cos  |A|= etc……. Allt vi har gjord med 2D vektorer görs på samma sätt i 3D! y x

Vektor-produkten (kryss-produkten) Vektorn, C vars längd är |C|=|A||B|sin  och som är vinkelrätt mot båda A och B och orienterat som visas, kallas för vektorprodukten av A med B. A B C=A  B Om två vektorer är parallella ( =0) är deras vektorprodukt lika med noll-vektorn. Koordinatform: Cx=AyBz-AzBy Cy=AzBx-AxBz Cz=AxBy-AyBx Fysik-exempel: Kraften på en partikel med laddning q och hastighetsvektor v i ett magnetiskt fält B är F=qv  B.

Skalära produkten A·B och vektor-produkten AB A·B=|A||B|cos  = AxBx+AyBy+AzBz är ett tal (en skalär) AB är en vektor med längd |AB| = |A||B| sin  och riktning vinkelrätt mot båda A och B. A B C=A  B Koordinatform: Cx=AyBz-AzBy Cy=AzBx-AxBz Cz=AxBy-AyBx

Vektorfunktioner Exempel: Låt r vara lägesvektorn för en partikel (dvs. den vektorn som anger partikelns läge i forhållande till ett koordinatsystem). Om partiklen rör sig är r en funktion av tiden, r=r(t). Derivatan definieras som vanligt: t  0 r=r(t+t) - r(t) y r(t+t) r(t) Derivatan av lägesvektorn är hastigheten: x Derivatan av hastigheten är accelerationen:

Det finns en poäng med detta: Komponentfunktioner r(t)=(x(t),y(t)) v(t)=r’(t)=(x’(t),y’(t))=(vx(t),vy(t)) a(t)=v’(t)=(vx’(t),vy’(t))=(ax(t),ay(t)) Det finns en poäng med detta: Vi kan behandla varje komponent för sig och lösa ut rörelseekvationer för rörelse i x-led och y-led separat

Exempel: Cirkelrörelse med konstant fart. r(t)=(Rcos(t), Rsin(t)) v(t)=(-Rsin(t),Rcos(t)) a(t)=(-R2cos(t),-R2sin(t)) =-2r(t) Accelerationsvektorn pekar alltså in mot cirkelns centrum. x y Rcos (t) Rsin (t) r(t) v(t) a(t)

Funktioner av fler variabler x y z=f(x,y) En funktion kan ju bero av mer än en variabel! Ex. f(x,y)=2+x2-y2 Då kan vi inte rita en funktions-kurva, men vi kan rita en yta i ett 3D-koordinatsystem Derivata av en funktion av flera variabler?? Partiella derivata Vektorfunktionen kallas för gradienten av f.

Men vad betyder gradienten? Gradientvektorns belopp (längd) talar om hur brant ytan är. Gradientvektorns riktning är den riktning man ska gå i (x,y)-planen för att funktionsvärdet ska öka som mest. Dvs den riktning där ytan är som brantast uppför. Exempel : Gradienten av funktionen f(x,y)=2xy+y-x för (x,y)=(1,2) Sätt in (x,y)=(1,2):

Tänk på en backe! f(x,y) kan t. ex. beteckna höjd över havsytan som funktion av läget (x,y) eller längdgrad och breddgrad. Låt oss säga att backen är täckt med is så att det inte är någon friktion. Om vi lägger en puck på isen vilket håll börjar den då glida?? Den glider i den riktning där det är som brantast nedför! Dvs i riktningen bestämt av -f(x,y) FYSIK!- Om U(x,y) är en potentiell energi-funktion tillhörende kraften F gäller F=-U