Sannolikhet Stickprov Fördelningar Förelasning 4 Sannolikhet Stickprov Fördelningar Detta är en mall för att göra PowerPoint presentationer. Du skriver in din rubrik på första sidan. För att skapa nya sidor, tryck Ctrl+M. Skriv sedan in din text. Om du vill ha fast datum, eller ändra författarnamn, gå in under Visa, Sidhuvud och Sidfot. Vill du använda hörnet med loggan över en utfallande bild, gå in på Bildbakgrund och kopiera. Klistra sedan in på den sida du vill ha den.

Översikt Sannolikhet Slumpvariabel Sannolikhetsfördelning Slumpmässiga urval Centrala gränsvärdessatsen Statistiska metoder 2012

Sannolikhet Företeelser som kan resultera i olika utfall Klassisk definition: P(A)=x innebär Om man upprepar företeelsen n gånger  Frekvensen av A närmar sig x% om n ökar Exempel: Kastar tärning 6000 gånger Hur många gånger vi har sett ”2”? P(2)=? P(1,3,4,5,6)=? Statistiska metoder 2012

Sannolikhet Exempel: Kastar mynt; frekvensen av ”krona”? Statistiska metoder 2012

Sannolikheter Exempel Tärningar Kastar mynt 3 gånger, X=antalet klavar P(X=0)=? P(X=1)=? P(X=2)?P(X=3)? Betrakta alla möjliga (krona, krona,krona), (krona,krona,klave) … osv Sannolikhet för varje kombination? Hitta vilka kombinationer motsvarar vilka sannolikheter Kontrollera summan av alla P(x=i) X kallas för slumpvariablel . Möjliga utfall: 0,1,2,3. Statistiska metoder 2012

Sannolikheter- andra exempel P(Väntetid i en kö är mindre än 5 minuter) P(en på måfå vald glödlampa håller mer än 10 timmar) P(En valfri svensk röstar på fp nästa val) P(En person vinner spelet om han/hon har en viss strategi) Statistiska metoder 2012

Slumpvariabel (diskret) Beteckning X eller Y eller Z, anta X Utfall x1,…xn (diskreta, ändligt antal alternati) Sannolikhet P(X=xi)= stapelns höjd Statistiska metoder 2012

Slumpvariabel (kontinuerlig) Beteckning X eller Y eller Z, anta X Utfall x hör till [xa,xb ] – intervall (oändligt antal alternativ) Kontinuerliga: sannolikhetstäthet (täthetsfunktion): P(X mellan x1 och x2)= Arean under kurvan mellan x1 och x2 Statistiska metoder 2012

Binomialfördelningen Exempel Kasta tärning n gånger X=antal gånger vi observerade ”1”, p= sannolikhet att få ”1” vid 1 kast. Generellt: Upprepar försök n gånger Varje gång händelse A inträffar (med sannolikhet p) eller inte, X= antal gånger A inträffar under experimentet Intresserade P(X=x) Statistiska metoder 2012

Normalfördelningen En kontinuerlig fördelning, mest typisk för många processer Exempel. Kastar mynt, 30 försök, X=antalet klavar, P(X=x) Statistiska metoder 2012

Normalfördelning N(μ,σ), μ- medelvärde, σ-standardavvikelse Statistiska metoder 2012

Population och stickprov Slumpvariabel X Observationer= oberoende mätningar av X X= tid att åka mellan Linköping och Linköping på Söndag Population= Alla möjliga söndagar X=tid (sannolikt att normalfördelad) μ – populationens medelvärde σ – populationens standardavvikelse Omöjligt att veta μ,σ Vid tillräckligt stort stickprov, Statistiska metoder 2012

Normalfördelningen Area=1, eller 100% N(0,1) –standard normalfördelning Finns normalfördelningstabeller för N(0,1) Om x är normalfördelad, x~N(μ,σ) , använd för att använda tabeller Statistiska metoder 2012

Teoretiska resultat för stickprov Stickprov x1…xn Stickprovets medelvärde Ett speciellt fall: Varje observation x=1 eller x=0 (rökare icke-röckare). Vet att P(x=1)=π Intresserade att veta fördelningen av andelen p ”0” eller ”1” (t.ex ”1”,rökare) i stickprovet Statistiska metoder 2012

Mjukvaran Om vi hinner: Visa hur man kan skatta fördelningskvantiteter i MINITAB T ex P(X=3) i Bin(p=0.5, n=8) Normalfördelning: Z-värde motsvarande 15% Statistiska metoder 2012

Centrala gränsvärdenssatsen Om vi tar ett stort stickprov med valfritt fördelade värdena, då är deras summa eller medelvärde approximativt normalt fördelat Exempel X=0 eller 1, andelen p. Statistiska metoder 2012

Läsa hemma Kompendiet Boken, kap 5 Statistiska metoder 2012