Logikkurs 1

Logikens historia 1

Aristoteles 384 - 322 f.Kr. atenare Organon (redskap) syllogismer (motsvarar predikatlogik) 2

Syllogism (deduktiv slutledning) Alla människor är dödliga. (premiss) Filosofer är människor. (premiss) Alltså, är filosofer dödlig. (slutsats)

Francis Bacon 1561 - 1626 engelsk empiristisk filosof Nova Organon förespråkade induktion 3

Induktion (motsats: deduktion) Kråkan lägger ägg. (premiss) Bofinken lägger ägg. (premiss) Storken lägger ägg. (premiss) Alltså, lägger pingvinen ägg. (slutsats)

Kråkan kan flyga. (premiss) Bofinken kan flyga. (premiss) Storken kan flyga. (premiss) Alltså, kan pingvinen flyga. (slutsats)

Gottfried Wilhelm Leibnitz 1646 - 1716 tysk rationalistisk filosof, matematiker försökte skapa en ”universalkalkyl” införde symboler 4

George Boole 1815 - 1864 engelsk matematiker och filosof skapade logik grundad på matematik 5

Gottlob Frege 1848 - 1925 tysk logiker försökte grunda matematiken på logik 6

George Cantor 1845 - 1918 tysk matematiker grundade mängdläran 7

dödliga människor filosofer

Bertrand Russel 1872 - 1970 engelsk filosof Principia Matematica (tillsammans med Whitehead) skapade typteorin 8

Symbolisk logik 1

Formella språk exakta språk symboler: t.ex. Ø, Ù, Ú, ®, « (viss) satslogik, predikatlogik, modallogik syntax (grammatik) semantik (betydelseteori) 2

Objektspråk och metaspråk objektspråk: t.ex. (en viss) satslogik metaspråk: t.ex. svenska tecken i metaspråket: Þ, Û 2

Satser och propositioner I formell logik är alla satser påstående satser. Med en proposition förstås ett påstående med ett informationsinnehåll. Ordet sats används som synonym till preposition. 2

Sanningsvärden sann falsk (osann) 1 Man talar även om sanningsfunktioner. Det finns flervärdeslogik som räknar med flera än två sanningsvärden. 2

Sanningsteori Vad betyder det att en sats är sann? Korrespondensteorin: En sats är sann om det av satsen uttryckta sakförhållandet råder (i den värld som satsen gäller). Intuitionistisk logik: En sats är sann om den är bevisbar. 2

Satslogik 1

Satslogikens alfabet Ù konjunktion, och Ú disjunktion, eller Ø negation, inte Ù konjunktion, och Ú disjunktion, eller ® implikation, om… så (endast om) « ekvivalens, om och endast om p, q atomära satser ( ) parenteser 6

Negation Satsen P är sann (i modellen M) omm ¬P inte är sann (i modellen M). Konjunktion Satsen P Ù Q är sann omm både P och Q är sanna. Disjunktion Satsen P Ú Q är sann omm minst en av satserna P och Q är sanna (d.v.s. antingen P eller Q är sann eller både P och Q är sanna). Implikation Satsen P ® Q är sann omm Q är sann eller P inte är sann (eller både P och Q är sanna eller varken P eller Q är sanna). Ekvivalens Satsen P « Q är sann omm P och Q har samma sanningsvärde (d.v.s. både P och Q är sanna eller varken P eller Q är sanna).

Definierande sanningsvärdetabeller disjunktion negation konjunktion implikation ekvivalens

Negation, ¬ p = Göran Persson är Finlands statsminister. ¬p = Det är inte fallet att Göran Persson är Finlands statsminister. = Göran Persson är inte Finlands statsminister. Men: Det är inte fallet att Göran Persson valdes år 2000 till Finlands president. ¹ Göran Persson valdes inte år 2000 till Finlands president.

Lagen om det uteslutna tredje: P Ú ¬P Satsen P är antingen sann eller falsk. Satsen ”Sveriges president heter Göran Persson” är varken sann eller falsk, utan saknar mening (enligt vissa logiker).

Konjunktion, Ù p = Kalle studerar. q = Ville studerar. p Ù q = Kalle och Ville studerar. p Ù Øq = Kalle studerar, men Ville studerar inte. Men: Kalle är gift och Ville är gift. ¹ Kalle och Ville är gifta.

Disjunktion, Ú p = Kalle studerar filosofi. q = Kalle studerar matematik. p Ú q = Kalle studerar filosofi eller matematik. Men: Om p = ”I priset ingår kaffe” och q = ”I priset ingår glass, så ”I priset ingår kaffe eller glass” = p Ú q ¹ p Ú q.

Implikation, ® Det blixtrar. ® Det mullrar. = Om det blixtrar, så mullrar det. = Det mullrar, om det blixtrar. = Det blixtrar endast om det mullrar. = Endast om det det mullrar blixtrar det.

Det blixtrar. ® Det mullrar. = Det är ett tillräckligt villkor att det blixtrar, för att det skall mullra. = Det är ett nödvändigt villkor att det mullrar för att det skall blixtra.

Ekvivalens, « Det blixtrar. « Det mullrar. = (Det blixtrar. ® Det mullrar.) Ù (Det mullrar. ® Det blixtrar .) = (Det blixtrar endast om det mullrar.) Ù (Det blixtrar om det mullrar.) = (Det blixtrar om det mullrar.) Ù (Det blixtrar endast om det mullrar.) = Det blixtrar om och endast om det mullrar.

Det blixtrar. « Det mullrar. = Det är ett nödvändigt och tillräckligt villkor att det blixtrar för att det skall mullra.

Alternativa grundkonnektiv P Ú Q Ûdf Ø(ØP Ù ØQ) P ® Q Ûdf Ø(P Ù ØQ) P « Q Ûdf Ø(P Ù ØQ) Ù Ø(ØP Ù Q) P Ù Q Ûdf Ø(ØP Ú ØQ) P ® Q Ûdf ØP Ú Q P « Q Ûdf Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(P Ú Q) 6

Välbildningsregler Om P och Q är välbildade satser utgör följande teckenföljder välbildade satser: (P) Ø(P) (P Ù Q) (P Ú Q) (P ® Q) (P « Q) 6

Kedjekonjunktioner (P Ù (Q Ù R)) Û ((P Ù Q) Ù R)) Kan visas med sanningsvärdetabell! (P Ù (Q Ù R)) Ûdf (P Ù Q Ù R) 6

Kedjedisjunktioner (P Ú (Q Ú R)) Û ((P Ú Q) Ú R) Kan visas med sanningsvärdetabell! (P Ú (Q Ú R)) Ûdf (P Ú Q Ú R) 6

Regler för utlämnande av parenteser Parenteser kring en fristående sats kan utelämnas. Parenteser kring en negation kan utelämnas. Parenteser kring disjunktioner och konjunktioner kan utelämnas då de förekommer som led i en implikation eller ekvivalens. 2

Tautologier (logiska sanningar) Tautologier är sanna i alla världar/ ”tolkningar”. Det deskriptiva innehållet hos en tautologi är tomt. Negationen av en tautologi är en kontradiktion. Tautologier kan med en gemensam symbol betecknas , medan kontradiktioner betecknas . 2

Tautologier (P Ù Q) Ú R « (P Ú R) Ù (Q Ú R) distributiva lagen för konjunktion (P Ú Q) Ù R « (P Ù R) Ú (Q Ù R) distributiva lagen för disjunktion P Ù Q « Q Ù P kommutativa lagen för konjunktion P Ú Q « Q Ú P kommutativa lagen för disjunktion P « P identitetslagen P « ØØP lagen för dubbel negation P Ú ØP det uteslutna tredjes lag Ø (P Ù ØP) den uteslutna kontradiktionens lag Ø (P Ù Q) « ØP Ú ØQ de Morgans lag Ø (P Ú Q) « ØP Ù ØQ (P ® Q) « (ØQ ® ØP) transpositionslagen (P ® Q) Ù P ® Q modus (ponendo) ponens (P ® Q) Ù ØQ ® ØP modus tollendo tollens (P Ú Q) Ù ØP ® Q modus tollendo ponens 2

tautologier (logiskt sanna/ analytiska satser) kontradiktioner (logiskt falska satser) kontingenta/ syntetiska satser Solen skiner eller solen skiner inte. Solen skiner. Solen skiner inte. Solen skiner och solen skiner inte. mängden av satisfierbara satser = mängden av tautologier  mängden av kontingenta satser mängden av falsifierbara satser = mängden av kontradiktioner  mängden av kontingenta satser mängden av kontingenta satser = mängden av satisfierbara satser  mängden av falsifierbara satser mängden av tautologier = mängden av satisfierbara satser - mängden av kontingenta satser mängden av kontradiktioner = mängden av falsifierbara satser - mängden av kontingenta satser

Logiska sanningar Att satsen P är en tautologi kan skrivas Om satsen P  Q är en tautologi, följer Q logiskt (semantiskt) ur P. Detta kan skrivas P Q. Man säger här även att P logiskt implicerar Q, vilket kan skrivas P  Q. 2

Substitution Om den atomära satsen p ingår i en tautologi och man konsekvent byter ut p mot en godtycklig sats Q får man en ny tautologi. När man i detta fall byter ut p mot Q säger man att man substituerar p med Q. Från tautologin "p  p" får vi med hjälp av substitution (¬p för p) den nya tautologin " ¬p  ¬p". 2

Logisk följd Om R följer från Q och Q följer från P, så följer R från P. "Q  R" följer ur P omm R följer från P och Q. Detta kan med symboler skrivas P Q  R omm P, Q R. Mera allmänt gäller att P1, P2, ... Pn-2, Pn-1 Pn omm P1, P2, ... Pn-2 Pn-1  Pn. 2

Specialfall Q följer från P omm "P  Q" är en tautologi, dvs P Q omm P  Q. Att en sats är tautolog betyder att den följer från en tom satsmängd eller vilken sats som helst.

Axiomatiska system Hilberts bevisteori 2

Logiska slutledningar Det naturliga slutledningssystemet 2

Fullständighet Sundhet och fullständighet 2

Predikatlogik 1

Syllogism Alla människor är dödliga. Alla filosofer är människor. Alltså, är alla filosofer dödlig.

Syllogism Ingen människa är odödlig. Alla filosofer är människor. Alltså, är ingen filosof odödlig.

Predikatlogikens alfabet Ø negation, inte Ù konjunktion, och Ú disjunktion, eller ® implikation, om… så (endast om) ekvivalens, om och endast om º identitet  allkvantifikator $ existenskvantifikator x, y, z,... variabler a, b, c,... konstanter p, p1,... predikatsymboler ( ) parenteser , komma 6

Satslogik p = Kalle studerar. q = Ville studerar. p Ù q = Kalle och Ville studerar. Predikatlogik p(x)= x studerar a = Kalle b = Ville p(a) Ù p(b) = Kalle och Ville studerar.

Satslogik p = Kalle studerar. q = Kalle jobbar. p Ù q = Kalle studerar och jobbar. Predikatlogik p(x)= x studerar q(x) = x jobbar a = Kalle p(a) Ù q(a) = Kalle studerar och jobbar.

Predikatlogik p(x)= x studerar xp(x) = Alla studerar. (För alla x gäller att x studerar.) xp(x) = Någon studerar. (Det existerar ett x sådant att x studerar.)

Allkvantifikator Satsen xp(x) är sann omm p(a) är sann för alla a  U. Existenskvantifikator Satsen xp(x) är sann omm p(a) är sann för något (minst ett) a  U.

I fall antalet individer i ett i ett bestämt universum U är ändligt gäller det att xp(x)  p(c1)   p(c2)  ...  p(cn) och xp(x)  p(c1)  p(c2)  ...  p(cn), där n är antalet element i universumet U.

De Morgans lag Ø(P Ù Q) Û ØP Ú ØQ ØØ(P Ù Q) Û Ø( ØP Ú ØQ) 2

Ø(P Ù Q) Û ØP Ú ØQ ØØ(P Ù Q) Û Ø( ØP Ú ØQ) P Ù Q Û Ø( ØP Ú ØQ) P Ù (Q Ù R) Û Ø( ØP Ú Ø(Q Ù R)) P Ù Q Ù R Û Ø( ØP Ú (ØQ Ú ØR)) P Ù Q Ù R Û Ø( ØP Ú ØQ Ú ØR) P1 Ù P2 Ù ... Ù Pn Û Ø (ØP1 Ú ØP2 Ú ... Ú ØPn)

Satslogik p1 Ù p2 Ù ... Ù pn Û Ø(Øp1 Ú Øp2 Ú ... Ú Øpn) Predikatlogik p(c1) Ù p(c2) Ù ... Ù p(cn) Û Ø(Øp(c1) Ú Øp(c2) Ú ... Ú Øp(cn))

Sambandet mellan all- och existenskvantorn "xp(x) Ûdf Ø$xØp(x)

Flera samband "xp(x) Û Ø$xØp(x) "xØp(x) Û Ø$xp(x) Ø"xØp(x) Û $xp(x) Ø"xp(x) Û $xØp(x)

Relationer p(x,y) = x älskar y a = Göran b = Anitra p(a,b) = Göran älskar Anitra. p(b,a) = Anitra älskar Göran. p(a,a) = Göran älskar sig själv. xp(x,a) = Alla älskar Göran. xp(a,x) = Göran älskar alla. xp(x,b) = Någon älskar Anitra. 2

All- och existenssatser p(x) = x är filosof q(x) = x är människa xp(x) = Alla är filosofer. xp(x) = Någon är filosof. x(p(x)  q(x)) = Någon filosof är människa. x(p(x)  q(x)) = Alla filosofer är människor. 2

Flera samband mellan all- och existenskvantorn Øx(p(x)  Øq(x)) Û xØ(p(x)  Øq(x)) Û x (Øp(x) Ú ØØq(x)) Û x (Øp(x) Ú q(x)) Û x(p(x)  q(x)) 2

Logiska slutledningar i predikatlogiken Naturliga deduktion 2

Mängdlära 1

Union x  A  B  x  A  x  B A  B = {x|x  A  x  B} Snitt x  A  B  x  A  x  B A  B = {x|x  A  x  B} Komplement x  -A  x  A A = {x|x  A} Differans x  A - B  x  A   x  B A - B = {x|x  A   x  B } Nollmängd x  Ø    x = x Ø = {x|  x = x } Delmängd A  B  x(x  A  x  B)

De Morgan x  -(A  B)  x  A  B   (x  A  x  B) 

P = mängden av filosofer = {x | p(x)} p(x) = x är filosof q(x) = x är människa P = mängden av filosofer = {x | p(x)} Q = mängden av människor = {x | q(x)} a är filosof = p(a) = a  P a är människa = q(a) = a  Q Alla filosofer är människor. = x(p(x)  q(x)) = P  Q 2

Modallogik 1

Det är nödvändigt att satsen P är sann. = NP Det är möjligt att satsen P är sann. = MP MP  NP NP  MP NP  MP MP  NP NP  MP MP  NP

NP  P P  MP