Speciell relativitetsteori Elektromagnetisk kraft Relativ rörelse Tidsdilatation Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi Fyrdimensionell rum-tid och fyr-vektorer Lorentz koordinattransformationer Magnetiska kraftens ursprung – den relativistiska effekten

Parallella ledare Magnetisk kraft mellan två strömelement Strömelement Fm Strömelement q är laddning v är elektronernas hastighet

Parallella elektronstrålar För fria laddningar tillkommer elektrisk kraft. fe v v’ fm R e- Kraft på en elektron erhålls via summering av alla parvisa krafter.

Ett par elektroner med samma hastighet fm fm fe fe v v Elektrisk kraft Magnetisk kraft Vilken är elektronens fart i en ledare? Hur stor är magnetiska kraften jämfört med den elektriska? Notera att v < c Total kraft

Inductive Force - Lab A 2 1 From observation one concludes the force on a charge q2 in conductor number 2 due to a current element I1dL1 in conductor nr 1 R is a line segment in the direction of current Current density Cross sectional area A current element Weber 1846 (shown later)

Magnetic Energy – definition of Inductance Battery does work against the inductive force R Consider an infinitesimal charge dq in the conductor i Energy change is with inductance Energy change in terms of inductance is Total energy is In general for several conductors where Neumann formula of inductance 1845

How do we determine C(R)? Consider the interaction between two current elements in parallel motion (thought experiment only): R I2dL2 I1dL1 Force on element nr 2 is Energy is Where inductance is So that energy is Using gives

Faraday-Henry Induction Law Energy change expressed with inductance is Induction Voltage Generalize by allowing inductance to change with time ij Induction voltage in circuit j due to circuit k Mjk V ik For many circuits in the system (also j=k)

Origin of magnetic and inductive forces Pairwise interaction between identical charged objects Electromagnetism Observer at rest V V Electric Force V Observer in motion Magnetic Force Relative rest R Principle of relative motion – basis for SR, also LAB

Origin of magnetic ”force” (effect) – interactions take time Assume Interaction speed c Invariance of interaction speed v R=ct0 R R*=ct vt In motion, interaction occurs over a larger distance, R*, and the strength decreases. Coulombs law changes to which is electric plus magnetic force

Origin of inductive ”force” (effect) – interactions take time 1 2 t3 Total force is along R* Vertical components cancel Vertical force identified as the inductive force find ftot t2 fem s = vt R*=ct Velocity v t1 R The inductive force accelerate (decelerate) from 0 to v (v to 0) during time t = t2 – t1 => acceleration a = v/t Considering the force on object nr 2 (right object) Weber inductive force Inductive force is the longitudinal interactions between charges – origin of inductance

Steg 1: Principen om relativ rörelse Observatör i vila Observatör i rörelse Relativ vila All rörelse är relativ. Det finns ingen absolut rörelse. Tid är rörelse i rummet. Tiden är relativ.

Steg 2: Tidsdilatation Tillämpa Newtons lagar Observatören i rörelse uppfattar tiden DT. Observatören i vila uppfattar tiden DT0 V R där m är laddningarnas massa. Antag att DT = gDT0 Dividera ekvationerna med varandra => Detta är tidsdilatationen, essensen av relativitetsteorin. så att Längdkontraktion, uppg. 9.4

Steg 3: Relativistisk rörelsemängd - rörelsemängdens bevarande f v Observatör i rörelse uppfattar långsammare rörelse på vänstra objektet. Principen om kraft och motkraft är bruten => rörelsemängd bevaras inte Rörelsemängd omdefinieras för att transversell rörelsemängd ska vara oförändrad Inför relativistisk massa R antas vara oberoende av observatörens rörelse R Eftersom blir p = p0 Generellt, relativistisk rörelsemängd Relativistisk massa u är föremålets fart 14

Kraft och energi F E = gm0c2 tolkas som total energi Betrakta ett föremål som påverkas av kraft Ingen lägesenergi i detta exempel! F x = x1 v = 0 x = x2 v = vf Relativistisk kraft Arbete Använd dx = v dt Rörelseenergi! E = gm0c2 tolkas som total energi E0 = m0c2 tolkas som viloenergi (inte Einsteins tolkning) Total energi kan också uttryckas VISA! 15

Fyr-dimensionell rum-tid Einstein-Minkowski princip: fysik skall beskrivas oberoende av observatör Invarianter – oberoende av observatörens rörelse Invariant! Inför fyr-vektorn för rörelsemängd Beloppet av en vektor är alltid oberoende av koordinatsystem Definiera beloppet (i kvadrat) av en fyr-vektor tolkas som att invarianter nu uppstår i en fyr-dimensionell rum-tid där tiden är fjärde dimensionen Kvantiteter med fyra komponenter som kan forma invarianter på detta sätt kallas (fyr)-vektorer

Koordinaterna formar en fyr-vektor på följande sätt Betrakta den parvisa växelverkningen v R*=ct ct0 ct0 vilket blir i tre rums-dimensioner Vi formar invarianten motsvarande fyr-vektorn x,y,z är längder, t, t0 är tidsintervall

Lorentz-transformationer Koordinattransformationer O O’ v O O’ Relativistisk – Lorentztransformation Skall reduceras till Galilei för Skall vara linjära Klassisk – Galileitransformation Allmän form A, B, D skall bestämmas ur x,y,z är längder, t, t0 är tidsintervall

“Since the mathematicians have invaded the theory of relativity, I do not understand it myself anymore.” - Albert Einstein Metrik-tensorn Koordinatvektorn i infinitesimal form (som längder och intervall) blir Dess invariant uttrycks med metrik-tensorn gmn i rektangulära koordinater så att Euklidisk geometri  Pytgaros sats gäller och metriken som ovan Icke-euklidisk geometri Pytagoras gäller ej, metriktensorns har icke-diagonala element Metrik-tensorn används i Einsteins teori för gravitationen där den varierar med koordinaterna motsvarande ”krökt” rum-tid  icke-euklidisk geometri

Sammanfattning Det finns ingen absolut rörelse. All rörelse är relativ. Tid motsvarar rörelse Tiden beror av observatörens rörelse – tidsdilatation Farter högre än ljushastigheten leder till kausalitetsbrott Begreppen relativistisk rörelsemängd och kraft leder till ny uppfattning om energi: massa är en energiform Tiden kan tolkas som en fjärde dimension genom att forma invarianter Lorentz-transformationer Rörelsekonsekvenser, s.k. relativistiska effekter, uppstår därför att VÄXELVERKNINGAR TAR TID