(Några begrepp från avsnitt 14.2) Ett område i -planet kallas -enkelt om det begränsas av två vertikala linjer och samt graferna till två kontinuerliga funktioner och (se figur nedan). Ett -enkelt område definieras analogt. - enkelt - enkelt

Om är en union av ändligt många delområden som vart och ett är både -enkelt och -enkelt så säger vi att är reguljärt. reguljärt område

Om är ett reguljärt område så kan vi uppfatta dess rand som en kurva, ev. bestående av flera kurvbitar. Att välja en orientering för kurvan innebär att man bestämmer en riktning i vilket man genomlöper kurvan. Om området ligger till vänster om kurvan då vi genomlöper kurvan så säger vi att randkurvan är positivt orienterad. positivt orienterad

En kurva sägs vara glatt (smooth) om den kan parametriseras sådant att komponent- funktionerna i är oändligt deriverbara. Ett vektorfält sägs vara glatt om dess komponent- funktioner är oändligt deriverbara.

Greens sats (avs. 16.3) Låt vara ett reguljärt och slutet område i planet vars rand består av en eller flera styckvis glatta kurvor som är positivt orienterade m.a.p. . Om är ett glatt vektorfält på så är

Gauss divergenssats (avs. 16.4) Låt vara ett reguljärt område i rummet vars rand består av en eller flera styckvis glatta ytor som är orienterade med utåtriktad normalvektor . Om är ett glatt vektorfält på så är

Anm. Ett reguljärt område i rummet definieras på ett liknande sätt som motsvarande begrepp i planet. Ett reguljärt område i rummet är -enkelt , -enkelt och -enkelt (se sid 868) En glatt yta definieras på ett liknande sätt som motsvarande begrepp för kurvor dvs. det finns en parametrisering av ytan vars komponentfunktioner har partiella derivator av oändlig ordning.

Låt vara ett klot med radie och centrum i Låt vara ett klot med radie och centrum i . Detta klot har volymen så medelvärdesegenskapen för trippelintegraler ger att Med Gauss sats följer det därför att Integralen mäter det totala flödet ut ur klotet så divergensen ger därför att mått på hur mycket av det strömmande mediet som produceras i punkten .

Stokes sats (avs. 16.5) Låt vara en styckvis glatt yta som är orienterad med normalvektor sådan att dess rand består av en eller flera styckvis glatta och slutna kurvor med positiv orientering m.a.p. ytans orientering. Om är ett glatt vektorfält i ett område som innehåller så är

Anm. Alla punkter på en yta är i topologisk mening (dvs. enl Anm. Alla punkter på en yta är i topologisk mening (dvs. enl. definitionen tidigare i kursen) randpunkter. Med randen av en yta i Stokes sats så avses snarare kanten på ytan. Att en randkurva är positivt orienterad m.a.p. ytans orientering innebär att om normalvektorn förflyttar sig utefter kurvan så skall den ha ytan till vänster om sig.

Låt vara en cirkelskiva i rummet med radie , centrum i och normalvektor . Denna cirkelskiva har arean så medelvärdes- egenskapen för dubbelintegraler ger att Med Stokes sats följer det därför att Integralen mäter det arbete som fältet uträttar vid cirkulation runt punkten , längs randen till cirkelskivan . Det framgår av ovan att gränsvärdet av detta arbete är som störst då cirkulationsaxeln sammanfaller med riktningen för , och då har storleken Så rotationen ger därför ett mått på hur mycket fältet tenderar att rotera/virvla i punkten och riktningen på indikerar den axel kring vilket rotationen är som störst.