Matematik och musik Matematiken i vår omvärld En föreläsning i kursen Jesper RYDÉN Tekn dr i matematisk statistik Matematiska institutionen Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se

Föreläsningens innehåll: Matematik för att beskriva ”ljud” (och i förlängningen, musik). Musikinstrument: hur kan matematik beskriva dessa? Kompositioner: Hur har tonsättare utnyttjat matematiska strukturer i sitt konstnärsskap?

Matematiska begrepp Exempel på begrepp som kommer användas/beröras: logaritmer bråk sinusfunktioner exponentialfunktioner differentialekvationer

Citat av Helmholtz: Mathematics and Music, the most sharply contrasted fields of intellectual activity which one can discover, and yet bound together … Hermann von Helmholtz (1821-1894)

Kvantitativ analys? Tonsättare Lyssnare Noter Ljudförlopp Musiker

Vad menas med LJUD? Ljud motsvaras fysikaliskt av lufttrycksvariationer. Trumhinnevibrationer En TON: regelbundna variationer, periodiska förlopp Buller, brus: operiodiska förlopp

Periodiska förlopp Amplitud Frekvens Period Sinusformad kurva

Ljudutbredning LONGITUDINELL vågutbredning: Luftpartiklar knuffas fram och åter i utbredningsriktningen. SFÄRISK utbredning: punktformig, lika bra åt alla håll (jfr. glödlampa) PLAN utbredning: på tillräckligt stort avstånd från ljudalstraren (ex. trånga rör, blåsinstrument)

Ljudstyrkor i praktiken

”Ljudstyrka”? Ljudtryck mäts i Pa (N/m²) Ljudtrycksnivå mäts i dB relativt referensen 20 µPa Ljudintensitet mäts i Watt per kvadratmeter, W/m² Ljudintensitetsnivå mäts i dB relativt referensen 1 pW/m² Värdena för ljudtrycksnivå och ljudintensitetsnivå sammanfaller under normala förhållanden (tryck, temperatur, plan eller sfärisk våg etc). Man talar därför bara ofta om ljudnivå. Ännu allmännare: ljudstyrka (ljudnivå, ljudintensitet och ljudtryck).

Ljudtryck och dB

Spektrum m.m. Varje periodisk vågform kan betraktas som uppbyggd av en serie enkla sinusfunktioner med givna frekvenser, amplituder och faser Matematisk disciplin: Fourieranalys Olika musikinstrument genererar olika spektra JBJ Fourier (1768-1850)

Fourierutveckling

Superposition

Deltoner Deltoner bidrar till klangfärg De flesta musikinstrument: heltalsmultiplar av lägsta frekvensen Harmoniskt spektrum Oharmoniskt spektrum (vissa slaginstrument)

Samma ton, olika instrument Stämgaffel Violin Oboe Tid

Spektrum Klarinett, låg ton:

Spektrum Klarinett, hög ton:

Svävningar Två toner ljuder med nästan samma frekvens Medfas och motfas Matematiskt begrepp: Superposition

Svävningar Fenomenet används i orgelstämmorna ”Voix céleste” (himmelsk röst) och ”Unda maris” (havsvåg)

Intervaller och frekvenser Ett intervall motsvaras av ett frekvensförhållande! Naturtonserien till tonen A

Resonans Mekaniska system som fungerar som resonatorer: massa, fjädring, dämpning Exempel: bil, lokal, flöjt, violin, … Resonator svänger helst på vissa frekvenser, resonansfrekvenserna. Differentialekvation

Resonans och dämpning Dämpning beror på förluster Reflektioner Läckage (ex. rörändar) Exempel, små förluster: pianosträng; större förluster: fiolsträng (pizz.) Pizzicatospel

Hur klassificera dämpning? Hur hastigt dör en ton vid resonansfrekvens ut? Hur stor frekvensändring behövs på ömse sidor om resonansfrekvensen för att ljudnivån i resonatorn ska sjunka 3 dB?

Resonanskurvor

Ansats och avklingning

Ansats och avklingning B betecknar bandbredden e är Eulers tal: 2,71828…

Den tid det tar för ljudet att avta 60 dB. Efterklangstid Den tid det tar för ljudet att avta 60 dB.

Begrepp från rumsakustik Reflektioner ger upphov till resonanser Eko: det reflekterade ljudet uppfattas som i tiden skilt ifrån det ursprungliga (100 ms isär i tiden) Efterklang: reflekterande ljudet når lyssnaren hastigare än efter 100 ms Absorption: ljudenergi förloras vid reflektionerna (materialberoende) Luftabsorption: liten, men tilltar med stigande frekvens

Efterklang: rumsvolym och frekvens Sabines formel:

Efterklangsradie På långt avstånd från ljudkällan dominerar efterklangsljudet Nära ljudkällan dominerar direktljudet Vid ett visst avstånd – efterklangsradien – är direktljud och efterklangsljud lika starka. Rumsvolym Efterklangsradie Efterklangstid

Stränginstrument System med flera resonatorer (strängen själv samt resonans- eller klanglåda) Anslagna strängar (piano) Knäppta strängar (gitarr, harpa) Stråkinstrument (violin, viola, cello, kontrabas)

Svängande sträng Resonansfrekvenser: (Första grunderna, Marin Mersenne (1588-1648))

Bakgrund: Partiella differentialekvationer ”Vågekvationen”: Allmän lösning: Randvillkor, fasta ändpunkter:

Vibrerande sträng

Totalt sluten pipa Snarare modell för ett rum än ett musikinstrument

Pipa, öppen i ena änden

Öppen pipa

Pukor, trummor Vågekvationen Polär form (cirkulärt membran) Allmän lösning: Besselfunktion

Kombinationstoner Frekvenser som uppfattas av hörseln Ligger lägre än de reella tonerna som alstrar dem Tillämpning: Stora orgelpipor. Spara plats, material, luftåtgång (och pengar). 32-fotsstämma: djupaste frekvens ca 16 Hz

Täckt 32-fotspipa First Presbyterian Church, Ithaca NY, USA

Bourdon 32’ Katarina kyrka, Stockholm

Fibonaccital Leonardo av Pisa (Fibonacci), 1200-talet. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 43, 55, 89, 144, . . . Talserien erhålls ur

Gyllene snittet Relaterat till Fibonaccital via ett gränsvärde:

Gyllene snittet Geometriskt förhållande:

Béla Bartók Ungersk tonsättare (1881-1945) Utnyttjar gyllene snittet (GS) och Fibonaccital (FT) som kompositionstekniker

Kompositionsteknik Harmonik Intervallstruktur Formbyggnad

GS: Intervall

GS: Form Huvudtema (43,5 takter långt) Sats III ur Sonat för två pianon och slagverk

FS: Form Musik för stråkar, slagverk och celesta Sats 1

Mozart och GS GS återfinns i flera av Mozarts pianosonater Medvetet? Konsekvens av den s.k. sonatformens konstruktion?

Litteratur jag använt Sundberg, Johan (1989): Musikens ljudlära. Proprius. Ulin, Bengt (2003): Matematik och musik. Ekelunds förlag. Benson, Dave (2004): Mathematics and Music. Bokmanus. Lendvai, Ernö (1971): Béla Bartók. An analysis of his music. Kahn and Averill. Putz, John F (1995): The golden section and the piano sonatas of Mozart. Mathematics Magazine 68:275-282. Rydén, Jesper (2007): Statistical analysis of the golden-ratio form in piano sonatas by Mozart and Haydn. The Mathematical Scientist 32 (to appear). Alm, Jeremy F och Walker, James S (2002): Time-frequency analysis of musical instruments. SIAM Review 44:457-476. Archibald, R.C. (1924): Mathematicians and music. The American Mathematical Monthly 31:1-25. INTERNET: http://www.ithaca.edu/hs/physics/PH160/lectures.htm