Telekommunikation, Vt-05 Signaler F1_A F1_A_be

SIGNALER och SIGNALBESKRIVNING Nya begrepp att kunna: Deterministisk Stokastisk Medelvärde Varians PDF CDF Periodisk Icke-periodisk Transient Digital Analog F1_A_be

Amplitud-kontinuerlig Tids-diskret Amplitud-diskret Tids-diskret Analog Amplitud-diskret Tids-kontinuerlig Amplitud-kontinuerlig Tids-diskret Amplitud-diskret Tids-diskret Digital F1_A_be

Exempel på digital signal: Inspelat ljud = sampel ( mätpunkt ) Samplingsfrekvens 8192 Hz F1_A_be

STOKASTISKA SIGNALER ( random signals ) Medel(x) = 0.1161 Varians(x) = 0.7697 Variansen skrivs ofta 2 STOKASTISKA SIGNALER ( random signals ) DETERMINISTISKA SIGNALER Amplitud(x) = 1.5 Frekvens(x) = 2 x(t)=1.5*sin(2π*2*t) F1_A_be

RAND Uniformly distributed random numbers. >> help rand RAND Uniformly distributed random numbers. >> x=rand(1,1000);plot(x,'k') >> hist(x) >> var(x) = 0.0833 >> mean(x) = 0.5001 F1_A_be

RANDN Normally distributed random numbers. RANDN(N) is an N-by-N matrix with random entries, chosen from a normal distribution with mean zero, variance one and standard deviation one. >> x=rand(1,1000);plot(x,'k') >> hist(x) >> var(x) 0.9994 >> mean(x) 0.0464 F1_A_be

Fyrkantvåg: ( square wave ) Stokastisk/Deterministisk ? Frekvens ? Amplitud ? Histogram ? F1_A_be

Slumpmässig digital signal. x=rand(1,20)>0.5; stairs( x>0.5,'k'); hist(x); Bit-tid F1_A_be

Stokastisk/Deterministisk ? Frekvens ? Amplitud ? Histogram F1_A_be

Amplitudegenskaper för analoga signaler En sinusformad signal med periodtiden T och frekvensen f kan beskrivas genom sin amplitud A Man kan enkelt beräkna DC-nivå och effektivvärde (RMS) för varje periodisk funktion F1_A_be

A %sin_plot.m A=1; f=2; t=0:0.01:1; uRMS u=A*sin(2*pi*f*t); plot(t,u,'k'); xlabel('t [s]'); ylabel('u(t)'); uRMS uDC F1_A_be

Effekt i Sinus-signal Effekt i Brus-signal Enligt el-läran: där R = belastning i ohm (  ) Effekt i Brus-signal Vid signalberäkningar sätter man ofta R = 1 och får alltså F1_A_be

(Signal + Brus ) - effekt i W ? Signal/Brus-förhållande i dB ? Brus-effekt = 4 [W] Sinus-effekt = (Signal + Brus ) - effekt i W ? Signal/Brus-förhållande i dB ? F1_A_be

Digitala signaler För digitala signaler man man t.ex ange medelvärde och standardavvikelse x=[1 4 6 8]; N=length(x); xmedel=(1/N)*sum(x) temp=sum( (x-xmedel).^2); xstdav=sqrt( (1/(N-1)*temp)) F1_A_be

3 signalanalys-tekniker Frekvensanalys – används för att beskriva vilka frekvenser som bygger upp signalen Korrelation – används för att jämföra signaler Beräkning av täthetsfunktion och sannolikhetsfunktion F1_A_be

Amplitudtäthetsfunktion Probability Density Function (PDF) Sannolikheten att signalen har en Amplitud i intervallet y till y+dy: y+dy y dt1 dt2 F1_A_be

Sannolikheten beror av dy, varför vi inför: Amplitudtäthetsfunktionen: Vidare sannolikheten att signalens amplitud ligger i intervallet a till b: F1_A_be

Några viktiga samband: En signals medelvärde ( mean, expected value ) och dess effektivvärde eller standardavvikelse =  F1_A_be

Exempel: Bestäm täthetsfunktionen för en sinussignal. dy dt T F1_A_be

Ex: Sannolikheten att sinuskurvans värde < -0.5: F1_A_be

Amplitudsannolikhetsfunktion ( Cumulative Distribution Function, (CDF) ) y=-1:0.01:1; cdf=(1/pi)*(asin(y)-asin(-1)); F1_A_be

Hur ser PDF och CDF ut för kast med symmetriskt mynt resp. symmetrisk tärning ? F1_A_be

Den mest berömda Amplitudtäthetsfunktion: Gauss-fördelningen eller Normalfördelning m = 0 σ = 1 m = medelvärde σ = standardavvikelse m = 1.5 σ = 0.5 F1_A_be

Hur stor är sannolikheten att Signalens amplitud > 2 σ? σ = 1 ”Svans” Hur stor är sannolikheten att Signalens amplitud > 2 σ? Sannolikheten blir = svansens yta som beräknas: I MATLAB 0.5*erfc(2/sqrt(2)) = 0.0228 Alternativt kan Q(x)-funktionen som finns i formelsamlingen användas: Q(2)=0.0275 F1_A_be

Motsvarande CDF: m = 0 σ = 1 y F1_A_be

KORRELATION Korrelation kan användas för att hitta en signal y[n] i en annan signal x[n] Korrelationen är ett mått på likheten mellan x och y vid tidpunkten j F1_A_be

Korrelationen = ”Kors”-korrelationen blir: Exempel: Ett känt mönster x: 0 1 0 sökes i signalen y: 0 0.2 1.25 0.12 0 0 Korrelationen = ”Kors”-korrelationen blir: Tolkning: x verkar finnas i y med en offset på 1. F1_A_be

MATLAB-program som genererar figuren ovan. %Cross-correlation %Look for pattern in data x=[ 0 0.2 1.25 0.12 0 0 0];%Data y=[ 0 1 0 ];%Pattern Lx=length(x); Ly=length(y); M=max(Lx,Ly); L=2*M-1;%Correlation length L2=round(L/2); Rxy=xcorr(x,y); %Cross-correlation function j=-L2+1:L2-1;%Offset stem(j,Rxy,'filled','k'); F1_A_be

En sinusfunktion med frekvens 5 Hz korrelerad med sig själv ( ”Auto-korrelation” ): %F23 %Auto-correlation dt=0.001; t=0:dt:1; x=sin(2*pi*5*t);%Data 5 Hz Lx=length(x);Ly=length(y); M=max(Lx,Ly); L=2*M-1;%Correlation length L2=round(L/2); Rxy=xcorr(x,x); j=-L2+1:L2-1;%Offset plot(j*dt,Rxy,'k'); F1_A_be

Gaussiskt brus korrelerat med sig själv F1_A_be

Var finns Signalen i bruset ? Ex: sinus i brus Signal Var finns Signalen i bruset ? F1_A_be

Korrelation mellan Signal och Signal i brus F1_A_be

x1=sin(2*pi*2*t1);%Signal 2 Hz % figure(1) plot(t1,x1,'k'); %Search for signal %in noise dt=0.01; t1=0:dt:1; x1=sin(2*pi*2*t1);%Signal 2 Hz % figure(1) plot(t1,x1,'k'); m1=randn(1,1001);%Gaussian Noise m1(201:301)=m1(201:301)+x1;%Insert Signal t=0:dt:10; figure(2) plot(t,m1,'k'); Lx=length(m1);Ly=length(y); M=max(Lx,Ly); L=2*M-1;%Correlation length L2=round(L/2); Rxy=xcorr(m1,y); j=-L2+1:L2-1;%Offset figure(3) plot(j*dt,Rxy,'k'); F1_A_be

Några MATLAB-övningar 1. Beräkna medelvärde och standardavvikelse (=effektivvärde) för dessa periodiska signaler, alla med amplitud 1 xmedel = 0.6358 xstdav = 0.3088 0.3179 0.3858 0.5005 0.2892 Användbara funktioner: sin och sawtooth F1_A_be

a. Medelvärdet = 0 och standardavvikelse = 0.5 (3.1671e-005) Beräkna sannolikheten att en normalfördelad signal har en amplitud >+2 om a. Medelvärdet = 0 och standardavvikelse = 0.5 (3.1671e-005) b. Medelvärdet = 1 och standardavvikelse = 2 (0.3084) 3. Generera ett bitmönster på t.ex 10 bitar med 10 sampel/bit. (Nivåer –1 och +1 ) Addera gaussiskt ( normalfördelat brus) med effektivvärdet 1 : F1_A_be

Beskriv någon metod att avkoda denna signal, dvs återskapa bit- Den brusiga signalen kan se ut så här: Beskriv någon metod att avkoda denna signal, dvs återskapa bit- mönstret. Beräkna sannolikheten för bitfel (”BER” ) som funktion av signal/brus- kvoten i dB. Räkna på t.ex 1000 bitar F1_A_be