Kontinuerliga system: Differentialekvationer Deterministiska modeller derivata istället för n(t+1)-n(t)

Bestämma ekvationen Bestäm vad som påverkar systemet Bestäm om parametrarna är positiva eller negativa, dvs ger tillväxt eller reduktion Bestäm om respektive parameter är linjär eller ickelinjär rx Population x tillväxt -dx bx Population x ‘dödslar’ födsel immigration i

Bestämma ekvationen rx Population x tillväxt -dx bx ‘dödslar’ Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: rx, positiv, linjär Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: bx, positiv, linjär dx, negativ, linjär i, positiv, konstant tillväxt -dx bx Population x ‘dödslar’ födsel immigration i

Differentialekvationer, del 2 Geometrisk analys Ickelinjära differentialekvationer

Vad är differentialekvationer Derivator i en ekvation, dvs både y och y’ i samma ekvation Exempel: Både koncentration och förändring av koncentrationen För att lösa detta så måste man integrera på något sätt, dvs göra om y’ till y. De flesta differentialekvationer går ej att lösa analytiskt, hänvisad till numeriska lösningar

Geometrisk analys: studera fasplanet Derivatan, y’, är positiv på intervallet [0,K] y’ Faslinje diagram: avsätt y’ mot y y’=f(y) y K Fasplanet: system av 2 diff ekvationer, x och y avsätt y mot x då y’=0, x’=0 y’=f(y,x)=0 => y=h(x) x’=g(y,x)=0 => x=i(x) y x’=0 x y’=0 Pilarna anger om x’ resp y’ är positiv eller negativ, riktning på lösningen

Utveckling av logistisk modell: allee effekt dn/dt Allee effekt, dvs finns en tröskel, a, under vilken tätheten är för låg: tredjegradsekvation a n K

Utveckling av logistisk modell: -logistisk  termen gör att man kan förändra formen på y’, dvs gör att tillväxten ökar eller minskar snabbare med ändring av populationsstorlek  =3 n’  =1  =0.5 n K  =1 ger den vanliga logistiska ekvationen

Fasplan, system ickelinjär ekvation x’=0 x [t,y]=ode45('fasplan',[0 10],[0.01 0.01]); » plot(y(:,2),y(:,1))

Skörd: uttag ur population h’’x Skörd ur population med logistisk tillväxt y’ - yield, dvs uttag h - skördeanträngning uttaget ökar med ökad skördeanträngning till linjen passerat max och från h’’ avtar uttaget med ansträngning x’ x’’ är populationens jämvikt vid resp skördeanträngning dy/dx h’x y’’ y’ x x’’ x’ K

Skörd: uttag ur population x dx/dt K h’x h’’x x’’ x’ y’’ y’ Hur ökar uttaget med h, dvs med ansträngning?

Skörd: uttag ur population h’’x n dn/dt med en population som har alle effekt beroende på täthet kan resultatet bli antingen utrotning eller jämvikt, h’ vi för högt uttag, ansträngning, så utrotas populationen, h’’ h’x a ej jämvikt K

Linjärisering kring jämviktspunkt linjarisera systemet kring en punkt , dvs tag fram tangenten vid punkten bestäm alltså partiella derivatorna i punkten

Linjärisering kring jämviktspunkt linjärisera systemet kring en jämviktspunkt , dvs då f(x’,y’)=0 och g(x’,y’)=0, flytta punkten till origo dvs u=x-x’ och v=y-y’

Linjärisering kring jämviktspunkt, typ av jämvikt s 260, avgör egenskaperna för det linjära systemet, dvs egenvärdena Jacobian matris

Klassiska Rovdjur-byte modell (Lotka-Volterra) Enklaste ickelinjära systemet av diff ekv termen xy finns x-byte, y-Rovdjur a- tillväxt byte b-fångst effektivitet c-omsätt fångat byte till avkomma d-dödshastighet predator

x-byte, y-Rovdjur a- tillväxt byte b-fångst effektivitet c-omsätt fångat byte till avkomma d-dödshastighet predator

De flesta ekvationer kan approximeras med linjära funktioner inom ett litet intervall Ekvationer som är deriverbara, dvs är kontinuerliga inom intervall, kan approximeras med Taylorutveckling. Dess första term är linjär och därmed är det möjligt att approximera Intervallet är mindre ju större derivatan är inom området

Numeriska lösningar De flesta diffentialekvationer går ej att lösa analytiskt. Man får bestämma sin lösning m h a numeriska metoder Eulers metod är att göra om diff ekv till differens ekvation med lämplig steglängd Mer raffinerade metoder, som Runge Kutta, utnyttjar ett antal derivator vid resp punkt. På detta sätt förbättras riktningen, dvs värdet vid nästa steg

Matlab: Numeriska lösningar [t,y] =ode45(’funktion',tidsintervall,begynnelsevärden); Skapa en m-fil rigid.m function dy = rigid(t,y) dy = zeros(3,1); % a column vector dy(1) = y(2) * y(3); dy(2) = -y(1) * y(3); dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2); lös ekvationen på intervallet 0-12 [t,y] = ode45('rigid',[0 12],[0 1 1])

Matlab: Numeriska lösningar [t,y] = ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]) plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.') Gör om rigid.m och pröva olika ekvationer Vissa typer av diff ekvationer, s k styva ekvationer, bör lösas med t ex ode15s(…) Styva diff ekvationer

Kontinuerliga system: Differentialekvationer Deterministiska modeller derivata istället för n(t+1)-n(t)

Bestämma ekvationen Bestäm vad som påverkar systemet Bestäm om parametrarna är positiva eller negativa, dvs ger tillväxt eller reduktion Bestäm om respektive parameter är linjär eller ickelinjär rx Population x tillväxt -dx bx Population x ‘dödslar’ födsel immigration i

Bestämma ekvationen rx Population x tillväxt -dx bx ‘dödslar’ Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: rx, positiv, linjär Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: bx, positiv, linjär dx, negativ, linjär i, positiv, konstant tillväxt -dx bx Population x ‘dödslar’ födsel immigration i

Differentialekvationer, del 1 Linjära differentialekvationer Separabla ekvationer System av linjära differentialekvationer kap 5.1-2 Använda numeriska metoder kap 5.4

Vad är differentialekvationer Derivator i en ekvation, dvs både y och y’ i samma ekvation Exempel: Både koncentration och förändring av koncentrationen För att lösa detta så måste man integrera på något sätt, dvs göra om y’ till y. De flesta differentialekvationer går ej att lösa analytiskt, hänvisad till numeriska lösningar