Kurvor, derivator och integraler
GENOMGÅNG 3.1
Växande och avtagande
Första och andra derivata Andra derivatans nollställe Första derivatans nollställen
Teckentabell
Teckentabell
Teckentabell Extremvärden 5 -3 3 -3 5 -3 + - +
Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?
Maximal area Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area.
Maximal area Hur får vi fram denna?
Maximal area Rektangelns maximala area är 13,5 ae.
Maximal area Lösning 2 Rektangelns maximala area är 13,5 ae.
Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 1. Vi börjar med att derivera f(x) 2. Vi sätter f´(x) = 0 PQ-formeln ger oss
Exempeluppgift Kan vi vara säkra på detta? Nej! Varför inte det? Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 3. Vi sätter in våra x-värden i f(x) 4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000 Största värde: 118 750?? Minsta värde: 112 000?? Kan vi vara säkra på detta? Nej! Varför inte det?
Exempeluppgift Största värde: 125 000 Minsta värde: 112 000 Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet Största värde: 125 000 Minsta värde: 112 000 OBS! 4 × 18^3 - 390 × 18^2 + 12000 × 18 = 112968 4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000 4 × 50^3 - 390 × 50^2 + 12000 × 50 = 125000
Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 4 × 18^3 - 390 × 18^2 + 12000 × 18 = 112968 4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000 4 × 50^3 - 390 × 50^2 + 12000 × 50 = 125000 Kommentar: För att vara säker på att vi har största respektive lägsta värde I det givna intervallet måste vi sätta in dels de båda x-värdena som derivatans nollställen ger, dels de båda x-värdena som ges av intervallet yttervärden.
Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 4 × 18^3 - 390 × 18^2 + 12000 × 18 = 112968 4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000 4 × 50^3 - 390 × 50^2 + 12000 × 50 = 125000
Andraderivatan och grafen GENOMGÅNG 3.2 Polynomfunktioner Andraderivatan Andraderivatan och grafen
Polynomfunktioner
Polynomfunktioner
Polynomfunktioner
Polynomfunktioner A Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm. Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på x som ger minsta möjliga värde på arean A. Uppgift 3212, sidan 151
Polynomfunktioner A Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm. Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x. Uppgift 3212, sidan 151
Polynomfunktioner I A III II Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x. Jag inför beteckningar för de 3 vita trianglarna: I: II: III: Uppgift 3212, sidan 151
Polynomfunktioner A I: II: III: Arean (A) av den grå triangeln: I III Uppgift 3212, sidan 151
Polynomfunktioner A I: II: III: Definitionsmängden för arean (A) är: Variabeln x måste ligga mellan 0 och 8. Varför? Uppgift 3212, sidan 151
Polynomfunktioner I A III II För vilket värde på x blir den grå triangelarean den minsta möjliga? Börja med att derivera A! Svar: När x = 6 så har den grå arean minsta möjliga värde. Uppgift 3212, sidan 151
Polynomfunktioner A Kontrollerar med graf: I III II Definitionsmängd Minsta area x-värde vid minsta area Största area?? Uppgift 3212, sidan 151
Andraderivatan
Andraderivatan
Andraderivatan
Andraderivatan
Andraderivatan och grafen
Andraderivatan och grafen
Andraderivatan och grafen
Andraderivatan och grafen http://www.youtube.com/watch?v=DlRT3xmcExI [C:a 10 minuter]
Andraderivatan och grafen http://www.youtube.com/watch?v=J2NDtXc3-ME
Andraderivatan och grafen http://www.youtube.com/watch?v=bOdPIKYs1W4
GENOMGÅNG 3.3 Primitiva funktioner Primitiva funktioner med villkor
FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Antal butiker 1996: 7400 st Antal butiker 2013: 5400 st
FRÅN TEXT-TV (SVT) Varifrån kom talet 17? Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Antal butiker 1996: 7400 st Antal butiker 2013: 5400 st Formel: Varifrån kom talet 17?
FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996?
FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? (5400/7400)^(1/17) ≈ 0,981636522454… Hur skall vi svara?
FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Svar: Den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker i Sverige har varit c:a 2% mellan åren 1996 och 2013.
Primitiva funktioner
Primitiva funktioner
Primitiva funktioner
Primitiva funktioner
Primitiva funktioner Den sökta funktionen:
Primitiva funktioner Vilken grad skall funktionen ha? Vad skall (-1) multipliceras med för att det skall bli 1?
Primitiva funktioner Den sökta funktionen:
GENOMGÅNG 3.4 Integraler Integralberäkning med primitiv funktion Tillämpningar och problemlösningar
Integraler OBS! Uppgift 3401!
Integraler
Integraler Integrand Övre integrationsgräns Integraltecken Undre integrationsgräns Integrationsvariabel
Integraler OBS! 0,2
Integraler
Integraler
Integraler