Kap 1 - Algebra och funktioner

GENOMGÅNG 1.3 Centralt innehåll Egenskaper hos polynomfunktion Algebraiska och grafiska metoder att lösa polynomekvationer av högre grad Orientering kring kontinuerlig och diskret funktion Kunskapsmål Rita grafer till polynomfunktioner Bestämma nollställen, definitionsmängd och värdemängd till rationella funktioner Känna till vad som menas med en diskret respektive kontinuerlig funktion

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Buskar på rad Y = 5x + 3

Funktioner En regel som till varje tillåtet 𝑥−värde ger exakt 𝑦−värde kallas en funktion De tillåtna 𝑥−värdena kallas funktionens definitionsmängd De 𝑦−värdena vi då kan få kallas funktionens värdemängd

Funktioner 𝒙 𝒚 Värdemängd Definitionsmängd

Räta linjens funktion

Räta linjens funktion 𝑦=𝑘𝑥+𝑚 𝑦=2𝑥+1

Räta linjens funktion m = 1

Linjär funktion 𝒚=𝒌𝒙+ 𝒎 Vi har 3 funktioner 𝑦 = 3−2𝑥 𝑦 = 𝑥 +2 𝑦 = 3𝑥−1 𝒎 = 0 𝑦 = −2𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 3𝑥

Linjär funktion 𝒚=𝒌𝒙+ 𝒎 Vi har 3 funktioner 𝑦 = 3−2𝑥 𝑦 = 𝑥 +2 𝑦 = 3𝑥−1 𝒌 = 0 𝑦 =3 𝑦 =2 𝑦 =−1

Räta linjens funktion m = 6

Räta linjens funktion

Andragradsfunktioner 𝑓(𝑥)=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 𝑎,𝑏, 𝑐 → konstanter 𝑎 ≠ 0

Andragradsfunktion―Nollställe 𝒚= 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟖 𝒚= 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟗 𝒚= 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟏𝟏 Två nollställen Ett nollställe (dubbelrot) Inget nollställe Nollställe är detsamma som skärningspunkt med 𝑥−axeln

Andragradsfunktioner Nollställen

Andragradsekvationer Lösningsformeln + 𝒙 = Kvadraten på halva koefficienten för 𝒙 Konstanta termen med ombytt tecken Halva koefficienten för 𝒙 med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

Andragradsfunktioner 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −6𝑥+8 𝑥 2 −6𝑥+8=0 Symmetrilinje Minimipunkt

Potensfunktioner & exponentialfunktioner

Potensfunktioner 𝑪 är ”startvärde” 𝒙 är förändringsfaktor 𝒂 kan exempelvis vara tid i år

Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.

Potensfunktioner Funktionen  𝒇 𝒙 = 𝒙 kan skrivas  𝒇 𝒙 =  𝒙 𝟎,𝟓   så detta är en potensfunktion. Definitionsmängden är 𝒙 ≥ 0 (Man kan ju inte ta roten ur ett negativt tal) 𝒙 𝒇 𝒙 = 𝒙 1 2 1,414 3 1,732 4 5 2,236 6 2,646 7 2,828

Exponentialfunktioner 𝑪 är ”startvärde” 𝒂 är förändringsfaktor 𝒙 kan exempelvis vara tid i år

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är 60 000? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden 60 000

Exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Vilken är exponentialfunktionen? Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av koordinater (0,5) ger:

Vilken är exponentialfunktionen? Insättning av (1,4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Grafen till en polynomfunktion Funktionen 𝒉 har nollställen där 𝒉(𝒙) = 𝟎 Grafen till ett fjärdegradspolynom Grafen till ett femtegradspolynom En polynomfunktion av grad 𝒏 har högst 𝒏 stycken nollställen En polynomfunktion av grad 𝒏 har högst 𝒏 stycken rötter

Faktorform och nollställen Polynomet 𝒑 𝒙 = 𝒙+𝟏 𝒙−𝟏 𝒙−𝟑 är skriven i faktorform Efter multiplikation får vi 𝒑(𝒙)= 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑 När polynomet är skriven i faktorform, är det enkelt att se att polynomet har nollställena 𝒙 = −1, 𝒙 = 1, 𝒙 = 3 Vi sätter 𝒙 = −1 i polynomet: 𝒑 −𝟏 = −𝟏+𝟏 −𝟏−𝟏 −𝟏−𝟑 = 0∙(-2)∙(-4) = 0 På samma sätt ser man att 𝒑 𝟏 = 𝒑 𝟑 =𝟎

Faktorform och nollställen Genom att finna rötterna till polynomekvation 𝒑 𝒙 =𝟎, får vi även nollställen till polynomet 𝒑 𝒙 Dessa nollställen kan användas som hjälp för att faktorisera polynomet 𝒑 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟏 har nollställena Polynom kan skrivas i faktorform 𝒑 𝒙 = 𝒙+𝟏 𝒙−𝟏𝟏 𝒙 = −1 𝒙 = 11

Faktorform och nollställen Ett polynom 𝒑 𝒙 av grad 𝒏 som har nollställena 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 , … 𝒙 𝒏 kan skrivas 𝒑 𝒙 =𝒌 𝒙− 𝒙 𝟏 𝒙− 𝒙 𝟐 …(𝒙− 𝒙 𝒏 ) där 𝒌 är en konstant