Kurvor, derivator och integraler Kapitel 3 Kurvor, derivator och integraler manada.se

Centralt innehåll Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andra derivata Egenskaper hos polynomfynktioner av högre grad Algebraiska och grafiska metoder för lösning av extremvärdesproblem inklusive teckenstudium och andraderivatan Begreppen primitiv funktion och integral Sambandet mellan integral och derivata Bestämningar av enkla integraler i tillämpningar relevanta för karaktärsämnena manada.se

3.1 Vad säger första derivatan om grafen? Extrempunkter och extremvärden Växande och avtagande Förstaderivatan och grafen Största och minsta värde Förkunskaper Ekvationslösning Räta linjens ekvation Andragradsfunktioner Derivata deriveringsregler manada.se

Analysera kurvors utseende Polynomfunktioner har sammanhängande grafer med en tangent i varje punkt. Vi säger att polynomfunktioner är kontinuerliga och deriverbara i alla punkter manada.se

Extrempunkter och extremvärden I en maximipunkt (−1, 𝑓(−1) ) är funktions värdet 𝑓(−1) större än funktionsvärdet i punkterna i närheten I en minimipunkt ( 1, 𝑓(1 ) ) är funktions värdet 𝑓(1) mindre än funktionsvärdet i punkterna i närheten Maximi- och minimipunkter kallas extrempunkter Funktionsvärdet i en extrempunkt kallas extremvärde 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒖𝒎 𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒖𝒎 manada.se

Extrempunkter Största och minsta värde kallas ibland för globalt maximum eller globalt minimum. Uttrycket globalt tolkas i det här fallet som hela intervallets manada.se

Växande och avtagande manada.se

Strängt växande funktion Om för varje 𝑥 1 , 𝑥 2 i ett interval 𝑎<𝑥<𝑏 𝑥 1 < 𝑥 2 medför att 𝑓 𝑥 1 < 𝑓(𝑥 2 ) så är funktionen strängt växande i intervalet 𝒚 𝒇(𝒙) 𝒙 𝒂 𝒃

Strängt avtagande funktion Om för varje 𝑥 1 , 𝑥 2 i ett interval 𝑎<𝑥<𝑏 𝑥 1 < 𝑥 2 medför att 𝑓 𝑥 1 > 𝑓(𝑥 2 ) så är funktionen strängt avtagande i intervalet 𝒚 𝒇(𝒙) 𝒙 𝒂 𝒃

Första derivatans nollställen f´(x) f(x) 𝑴𝒂𝒙 𝑴𝒊𝒏 Första derivatans nollställen manada.se

Förstaderivatan och grafen + – + Teckenväxlingen: Maximum Minimum + 0 – – 0 + manada.se

Förstaderivatan och grafen + + I terraspunkten sker det teckenväxlingen: − 0 − eller + 0+ manada.se

Derivatas nollställe Derivatas nollställe 𝑓 ′ 𝑥 =0 ger 𝑥−värdet till antingen en lokal extrempunkt (maximum eller minimum) eller en terrasspunkt manada.se

Teckentabell Derivatas nollställe 𝑥= −3 och 𝑥=3 f´(x) f(x) Derivatas nollställe 𝑥= −3 och 𝑥=3 Derivata är positiv 𝑓 ′ 𝑥 >0 när 𝑥< −3 och 𝑥>3 Funktionen är strängt växande för alla 𝑥< −3 och 𝑥>3 Derivata är negativ 𝑓 ′ 𝑥 <0 i intervallet −3≤𝑥≤3 Funktionen är strängt avtagande i intervallet −3≤𝑥≤3 5 −3 3 −3 Extremvärden 5 -3 + − + manada.se

Växande/avtagande funktionen Om 𝒇’(𝒙) > 0 i ett interval så funktionen 𝒇 är strängt växande i intervallet Om 𝒇’ 𝒙 < 0 i ett interval så funktionen 𝒇 är strängt avtagande i intervallet manada.se

Exempel: Maximal area Bestäm rektangelns maximala area. Punkten 𝑷 ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten 𝑷 en rektangel. När punkten 𝑷 flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. manada.se

Maximal area Vi skriver en ekvation för den rätta linjen ∆𝑦 Lösning 1 Vi skriver en ekvation för den rätta linjen ∆𝑦 𝑘= ∆𝑦 ∆𝑥 = −6 4 =− 3 2 ∆𝑥 𝑚=9 𝑦=− 3 2 𝑥+9 Räta linjens ekvation: manada.se

Maximal area Rektangelns maximala area är 13,5 a.e. 𝐴𝑟𝑒𝑎: 𝐴=𝑥∙𝑦 𝐴=𝒙∙ − 3 2 𝑥+9 =− 3 2 𝑥 2 +9𝑥 𝑦=− 3 2 𝑥+9 𝐴´=−3𝑥+9 𝐴´=0 𝒙 −3𝑥+9=0 𝑥=3 𝐴 3 =− 3 2 ∙ 3 2 +9∙3=− 27 2 +27=13,5 Rektangelns maximala area är 13,5 a.e. manada.se

Maximal area Rektangelns maximala area är 13,5 a.e. Lösning 2 𝑦=− 3 2 𝑥+9 Lösning 2 𝐴=𝑥∙ − 3 2 𝑥+9 =𝑥(−1,5𝑥+9) 𝐴=0⟹𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑛𝑠 𝑛𝑜𝑙𝑙𝑠𝑡ä𝑙𝑙𝑒 𝑥 −1,5𝑥+9 =0 𝑥 1 =0 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 0+6 2 =3 𝑥 2 =6 𝐴 3 =3 −1,5∙3+9 =13,5 Rektangelns maximala area är 13,5 a.e. manada.se

Exempel 𝑓 ′ 𝑥 =12 𝑥 2 −780𝑥+12000 12 𝑥 2 −780𝑥+12000=0 𝑥 1 =25 𝑥 2 =40 Bestäm det största och det minsta värdet som 𝑓 𝑥 =4 𝑥 3 −390 𝑥 2 +1200𝑥 antar i intervallet 18≤𝑥≤50 Vi börjar med att derivera 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ 𝑥 =12 𝑥 2 −780𝑥+12000 2. Vi sätter 𝑓´(𝑥) = 0 12 𝑥 2 −780𝑥+12000=0 PQ-formeln ger oss 𝑥 1 =25 𝑥 2 =40 manada.se

Exempel Nej! Kan vi vara säkra på detta? Varför inte det? Bestäm det största och det minsta värdet som 𝑓 𝑥 =4 𝑥 3 −390 𝑥 2 +1200𝑥 antar i intervallet 18≤𝑥≤50 3. Vi sätter in våra 𝑥-värden i 𝑓 𝑥 ⟹ 𝑥 1 =25; 𝑥 2 =40 4× 25 3 −390× 25 2 +12000 × 25 = 118750 4× 40 3 −390× 40 2 +12000 × 40 = 112000 Största värde: 118 750 Minsta värde: 112 000 Kan vi vara säkra på detta? Nej! Varför inte det? manada.se

Exempel Bestäm det största och det minsta värdet som 𝑓 𝑥 =4 𝑥 3 −390 𝑥 2 +1200𝑥 antar i intervallet 18≤𝑥≤50 4 × 18 3 −390 × 18 2 + 12000×18 =112968 4 × 25 3 −390 × 25 2 + 12000×25 =118750 4 × 40 3 −390 × 40 2 + 12000×40 =112000 4 × 50 3 −390 × 50 2 + 12000×50 =125000 OBS! ? Största värde =118 750 Minsta värde = 112 000 manada.se manada.se

Exempel Bestäm det största och det minsta värdet som 𝑓 𝑥 =4 𝑥 3 −390 𝑥 2 +1200𝑥 antar i intervallet 18≤𝑥≤50 4 × 18 3 −390 × 18 2 + 12000×18 =112968 4 × 25 3 −390 × 25 2 + 12000×25 =118750 4 × 40 3 −390 × 40 2 + 12000×40 =112000 4 × 50 3 −390 × 50 2 + 12000×50 =125000 minimum maximum Kommentar: För att vara säker på att vi har största respektive lägsta värde i det givna intervallet måste vi sätta in dels de båda 𝒙−värdena som derivatans nollställen ger, dels de båda 𝒙−värdena som ges av intervallet yttervärden. manada.se

Exempel Bestäm det största och det minsta värdet som 𝑓 𝑥 =4 𝑥 3 −390 𝑥 2 +1200𝑥 antar i intervallet 18≤𝑥≤50 4 × 18 3 −390 × 18 2 + 12000×18 =112968 4 × 25 3 −390 × 25 2 + 12000×25 =118750 4 × 40 3 −390 × 40 2 + 12000×40 =112000 4 × 50 3 −390 × 50 2 + 12000×50 =125000 manada.se