Matematik 1C Tanja Hrnjez VEKTORER Matematik 1C Tanja Hrnjez 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Vektorer Definition: Vektor En vektor är ett matematiskt objekt som karaktäriseras av både storlek (magnitud) och riktning. Lika vektorer Vektorer har stor betydelse när man skall beskriva storlekar som kraft och hastighet Man brukar skilja på vektorer och skalärer En vektor är en storhet som har både storlek och riktning, skalärer har endast storlek Exempel på vektorer: kraft, hastighet och acceleration Exempel på skalärer är temperatur, area och energi 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Vektorer Vektorer visas med pilar eftersom en pil har både storlek och riktning. Vektorer som har samma längd och samma riktning är likadana På bilden är vektorerna 𝑎 och 𝑏 lika eftersom de är lika BÅDE till storlek och riktning. 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Vektorer DEFINITION: Motsatta vektorer 𝑢 Motsatta vektorer är vektorer som har motsatt riktning, men samma storlek. 𝑢 𝑣 SATS: Parallella vektorer Om 𝑢 =k∙ 𝑣 , där k är konstant, är vektorerna 𝑢 och 𝑣 parallella. 𝑢 𝑣 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Vektor Storleken på en vektor 𝑢 betecknas med 𝑢 Riktningen på en vektor kan anges på olika sätt, t ex med en vinkel 𝑢 v 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Exempel 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Addition av vektorer 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Addition av vektorer Vi utgår från två parallella vektorer, i detta fall två krafter, där 𝐹 1 =3 N (Newton) och 𝐹 2 =2 N för att visa hur man adderar vektorer. Bestäm F1 + F2. 𝐹1 =3 N 𝐹 1 och 𝐹 2 kallas för komposanter och 𝑅 för resultant. 𝐹2 =2 N 𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 =5 N Addera = “låta vektorer bita varandra i svansen” 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Addition av vektorer Addera motsatta vektorer 𝑎 + 𝑏 = 0 𝑎 + 𝑏 = 0 𝑏 Summan av motsatta vektorer är nollvektor. 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Addition av vektorer Låt oss addera en positiv och en negativ vektor 𝐹 1 + 𝐹 2 där 𝐹 1 =3 N 0ch 𝐹 2 =-2 N. 𝐹 1=3 N 𝐹2 =2 N 𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 =3+ (-2) = 1 N 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Addition av vektorer 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 Låt oss addera vektorer 𝑎 och 𝑏: Addition av vektorer är kommutativ! 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Addition av vektorer Addera vektorer 𝑢 1 , 𝑢 2 och 𝑢 3 : 𝑢 1 𝑅 = 𝑢 3 + 𝑢 2 + 𝑢 1 𝑢 1 𝑅 = 𝑢 1 + 𝑢 3 + 𝑢 2 𝑢 2 𝑢 2 𝑢 3 𝑢 3 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Subtraktion av vektorer 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Subtraktion av vektorer Vi utgår från två parallella vektorer, i detta fall två krafter, där 𝐹 1 =3 N (Newton) och 𝐹 2 =2 N för att visa hur man subtraherar vektorer. Bestäm F1 - F2. 𝐹1 =3 N 𝐹2 =2 N 𝑅 = 𝐹1 − 𝐹2 =3-2 = 1 N 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Subtraktion av vektorer 𝑏 𝑏 - 𝑎 𝑏 𝑎 - 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 - 𝑎 𝑏 +(- 𝑎) 𝑏 𝑎 𝑎 - 𝑏 - 𝑏 𝑎 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Vektorer i koordinatsystem 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Vektorer i koordinatsystem Här har vi lagt in en vektor i ett koordinatsystem och den ses som en riktad sträcka från origo till en punkt eller ett koordinatpar (x,y) 𝑢 (x,y) 𝑢 𝑦 x 𝑢 x Här syns det tydligt att 𝑢 = 𝑢 x + 𝑢 y 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Vektorer i koordinatsystem DEFINITION: Basvektorer Basvektorerna 𝑒 𝑥 och 𝑒 𝑦 är två vektorer vinkelräta mot varandra. Basvektornas storlekar är 1, 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑦 =1. Om dessa basvektorer placeras i origo riktade i x- och y-axelns positiva riktningar kallas de ortsvektorer. Det innebär att en vektors komposanter kan skrivas: 𝑢 x = x ∙ 𝑒 𝑥 och 𝑢 y = y ∙ 𝑒 𝑦 där (x,y) är den koordinat där vektor slutar. x y x y 𝑢 (x,y) 𝑢 (4,3) 𝑢 y = y ∙ 𝑒 𝑦 𝑢 y = 3 ∙ 𝑒 𝑦 𝑒 𝑦 𝑒 𝑦 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 1/2/2019 𝑢 x = x ∙ 𝑒 𝑥 𝑢 x = 4 ∙ 𝑒 𝑥

Vektorer i koordinatsystem En vektor kan skrivas som 𝑢 = x ∙ 𝑒 𝑥 +y ∙ 𝑒 𝑦 =(x,y) Vektor i exemplet skulle då bli 𝑢 = 4 ∙ 𝑒 𝑥 +3 ∙ 𝑒 𝑦 =(4,3) Med det menas altså den riktade sträckan, eller vektor, från origo till punkten (4,3). 1/2/2019

Vektorer i koordinatsystem u + v =(2+3,4+1)=(5,5) (4,8) 𝑢 = (2,4) Vad blir 𝑢 + 𝑣 ? 2 ∙ 𝑢 𝑣 = (3,1) x 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Vektorer i koordinatsystem SATS: Räkneregler för vektorer Om 𝑢 1 =( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) och 𝑢 2 =( 𝑥 2 , 𝑦 2 ) så gäller: 𝑢 1 + 𝑢 2 =( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) + ( 𝑥 2 , 𝑦 2 )= ( 𝑥 1 + 𝑥 2 , 𝑦 1 + 𝑦 2 ) 𝑢 1 − 𝑢 2 =( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) - ( 𝑥 2 , 𝑦 2 )= ( 𝑥 1 − 𝑥 2 , 𝑦 1 − 𝑦 2 ) a∙ 𝑢 =(ax,ay) SATS: Storleken av en vektor Storleken av vektorn 𝑢 =(x,y) är 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 2 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Vektorer i koordinatsystem 1/2/2019 tanja0615@gmail.com

Vektorer och trigonometri När man använder vektorer i tillämpade sammanhang, t ex i fysiken, är riktningen ofta angiven med en vinkel. En basebollspelare slål iväg bollen med vinkel på 45° med utgångshastigheten 25 𝑚 𝑠 . x y 45° 𝑣 =25 𝑚 𝑠 𝑣 𝑥 cos45°= 𝑣 𝑥 25 sin45°= 𝑣 𝑦 25 𝑣 𝑦 längd höjd utslagsvinkel 𝑣 =25 𝑚 𝑠 1/2/2019 tanja0615@gmail.com