Mathematics 1 /Matematik 1 Lesson 3 – Functions and their solutions Lektion3 – Funktioner och deras lösningar

Solution, Lösning If you have an equation that you can not directly solve it may become solvable by substituting Example: 𝑦=𝑎 𝑥 4 +𝑏 𝑥 2 +𝑐 can be solved if you substitute 𝑧= 𝑥 2 , the equation becomes quadratic 𝑦=𝑎 𝑧 2 +𝑏𝑧+𝑐 Example: 𝑦=ln⁡( 𝑥 2 +𝑎), substitute 𝑧= 𝑥 2 +𝑎, the equation becomes 𝑦= ln 𝑧 and has a solution for 𝑧=𝑒 Om du har en ekvation som du inte kan direkt löser kan den bli lösbart genom substitution. Exempel: 𝑦=𝑎 𝑥 4 +𝑏 𝑥 2 +𝑐 kan bli löst genom substitution av 𝑧= 𝑥 2 , ekvationen blir kvadratisk 𝑦=𝑎 𝑧 2 +𝑏𝑧+𝑐 Exempel: 𝑦=ln⁡( 𝑥 2 +𝑎), substituerar 𝑧= 𝑥 2 +𝑎, ekvationen 𝑦= ln 𝑧 har en lösning för 𝑧=𝑒

Equations systems (gauss elemination) Assume equations 𝑘 1 = 𝑎 1 𝑧+ 𝑏 1 𝑦+ 𝑐 1 𝑥 and 𝑘 2 = 𝑎 2 𝑧+ 𝑏 2 𝑦+ 𝑐 2 𝑥 You can multiply any equation with any constant other than zero without changing it. You like to multiply with a value that is such that a subsequent subtraction of the two equations removes z because its coefficient becomes zero. Example: multiply 𝑘 2 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝑎 1 𝑎 2 and you get 𝑘 2 𝑎 1 𝑎 2 = 𝑎 1 𝑧+ 𝑏 2 𝑎 1 𝑎 2 𝑦+ 𝑐 2 𝑎 1 𝑎 2 𝑥 if the equations are now subtracted you get ( 𝑘 2 − 𝑘 1 )= 𝑘 2 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑘 2 = (𝑏 2 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑏 1 )𝑦+ (𝑐 2 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑐 1 )𝑥 You have (gauss) eliminated variable z Antar ekvationer 𝑘 1 = 𝑎 1 𝑧+ 𝑏 1 𝑦+ 𝑐 1 𝑥 och 𝑘 2 = 𝑎 2 𝑧+ 𝑏 2 𝑦+ 𝑐 2 𝑥du kan multiplicerar alla ekvationer med en konstant annat än noll utan att ändra ekvationen. Du multiplicerar med en värde sådant att en efterföljande subtraktion raderar z för att dess koeffcient blir noll. Exempel: multiplicerar 𝑘 2 𝑚𝑒𝑑 𝑎 1 𝑎 2 och du få 𝑘 2 𝑎 1 𝑎 2 = 𝑎 1 𝑧+ 𝑏 2 𝑎 1 𝑎 2 𝑦+ 𝑐 2 𝑎 1 𝑎 2 𝑥 om d subtraherar nu ekavtionerna fås ( 𝑘 2 − 𝑘 1 )= 𝑘 2 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑘 2 = (𝑏 2 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑏 1 )𝑦+ (𝑐 2 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑐 1 )𝑥 Du har nu (gauss) eliminerad variabel z

Equation linearization (substition) Assume you have a nonlinear model and collect data [y,t]. Extracting model parameters can be easier if the model is linearized. Example: 𝑦=𝐴 𝑒 𝐵𝑡 can be linearized to 𝑙𝑛 𝑦 𝐴 =𝐵𝑡= ln 𝑦 − ln 𝐴 . A linear model is then 𝑘=𝑎𝑥+𝑏 with 𝑘= ln 𝑦 , a=B, x=t, b=ln(A) This is fasted done in excel or similar Antar att du har en ickelinjär model och samlar data [y,t]. Extraktion av modelparameter kan vara lättare om modellen lineariseras. Exempel: 𝑦=𝐴 𝑒 𝐵𝑡 kan blir lineariserad till 𝑙𝑛 𝑦 𝐴 =𝐵𝑡= ln 𝑦 − ln 𝐴 . En linjär model är sedan 𝑘=𝑎𝑥+𝑏 med 𝑘= ln 𝑦 , a=B, x=t, b=ln(A) Detta gör snabbast i excel eller liknade.