Sannolikhet och statistik Matematik 1C

Vad är sannolikhet I många situationer vet vi inte vad som kommer att hända I sådana situationer kan vi ändå ta reda på hur stor sannolikheten, eller chansen, är att en viss händelse sker Den delen av matematiken som handlar om sannolikheter kallas sannolikhetsläran

Var har man nytta av sannolikhet? Kopplas oftast till spel och lotteri Har stor betydelse vid riskbedömning När vi skall betala livsförsäkring I kvantfysiken ( Schrödingerekvation t.e) Statistiska undersökningar används mycket inom vetenskapligt arbete (jämföra t.e. två olika behandlingar mot en sjukdom) Inom ekonomi, samällsvetenskap

Hur stor är chansen? Om vi kastar en vanlig tärning med sex sidor, hur stor är då sannolikheten att vi får en 3:a? Tärningskastet kan utfalla på 6 möjliga sätt (1, 2, 3, 4, 5 eller 6) Chansen (sannolikheten) att få en 3:a är: 1 6

Sannolikhet Sannolikhet heter Probability på engelska och betecknas därför med P När alla utfall är lika sannolika, har vi en likformig sannolikhetsfördelning När utfallen inte är lika sannolika, har vi en olikformig sannolikhetsfördelning Sannolikhet för en händelse= antal gynsamma utfall antal möjliga utfall DEFINITION: Sannolikheten för en likformig händelse

Sannolikhet Sannolikhet att få en “fyra” vid tärningskast: 𝑃 𝑓𝑦𝑟𝑎 = 1 6 Vad är då sannolikhet att inte få en “fyra”? 𝑃 𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑦𝑟𝑎 = 5 6 𝑃 𝑓𝑦𝑟𝑎 +𝑃 𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑦𝑟𝑎 = 1 6 + 5 6 =1 P(A)=1 betyder att händelse A säkert kommer att inträffa P(A)=0 betyder att det är säkert att händelse A inte kommer att inträffa

Exempel 1 Beräkna sannolikheten att få ett jämnt tal vid kast med en tärning. De gynsamma utfallen är 2:a, 4:a eller 6:a. Antal gynsamma utfall=3 Antal möjliga utfall=6 P(jämnt tal)= 3 6 = 1 2

Exempel 2 När flera utfall ingår i en händelse, kan I en påse finns det 10 kulor som har samma form. Det finns 6 röda, 3 blå och 1 grön kula. Utan att titta tar du upp en av kulorna ur påsen. a) Vilken är sannolikhet att kulan är röd? Svara i procent. Antal gynsamma utfall=6 Antal möjliga utfall=10 P(röd)= 6 10 = 0,6= 60% När flera utfall ingår i en händelse, kan vi addera sannolikheterna för dessa utfall under förutsättning att de inte kan inträffa samtidigt. P(A eller B) = P(A) + P(B) DEFINITION:Aditionsprincip b) Vilken är sannolikhet att kulan är röd eller grön? Svara i procent. Antal gynsamma utfall=6+1 Antal möjliga utfall=10 P(röd eller grön)= 7 10 = 0,7= 70% Alternativ lösning: P(röd eller grön)=P(röd)+P(grön)=0,6+0,1=0,7

Oberoende händelser Vi antingen kastar en tärning två gånger eller så kastar vi två tärningar 1:a kastet 2:a kastet krona klave Den gula punkten visar att det blev krona vid 1:a kastet och krona vid 2:a kastet, det kan skrivas som (kr,kr) Den svarta punkten visar att det blev krona vid 1:a kastet och klave vid 2:a kastet, det kan skrivas som (kr,kl) Den röda punkten visar att det blev klave vid 1:a kastet och krona vid 2:a kastet, det kan skrivas som (kl,kr) Den gröna punkten visar att det blev klave vid 1:a kastet och klave vid 2:a kastet, det kan skrivas som (kl,kl)

Oberoende händelser Hur stor är sannolikheten att han får krona båda gångerna? 1:a kastet 2:a kastet krona klave Antal gynsamma utfall=1 (gul punkt) Möjliga utfall=4 P(krona I båda kasten)= 1 4 = 25%

Oberoende händelser Bestäm P(mynten visar olika sidor) 1:a kastet krona klave Antal gynsamma utfall=2 (den svarta och den röda punkten) Möjliga utfall=4 P(mynten visar olika sidor)= 2 4 = 50%

Exempel 2 Tilde kastar två tärningar, en röd och en blå. Hur stor är sannolikheten att poängsumman blir 5? Röd tärning Blå tärning 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 Gynsamma utfall=4 Möjliga utfall=36 P(poängsumman 5)= 4 36 = 1 9

Flera oberoende händelse Om vi har fler än två oberoende händelse då är det lättare att använda träddiagram istället för diagram kr kl 1:a kast 2:a kast 3:a kast Sannolikheten för en “väg” i diagrammet=produkten av sannolikheter längs vägen SATS: Multiplikationsprincipen, händelser i flera steg Kasta mynt P(kr)= 1 2 P(kl)= 1 2 P(kl, kl, kr)= 1 2 ∙ 1 2 ∙ 1 2 P(kl)= 1 2 P(kr)= 1 2 P(kl)= 1 2 P(kr)= 1 2

Beroende händelser i flera steg I en påse finns det två röda och tre gröna kulor. Vi tar en kula och sedan ytterligare en kula utan att lägga tillbaka den första. Det här kallas dragning utan återläggning. I den första dragningen finns det 5 möjliga kulor, medan i den andra dragning finns det endast 4 kulor. Eftersom antalet kulor ändras, ändras även sannolikheterna.

Beroende händelser i flera steg 2 5 1:a kulan 2:a kulan 3 5 1 4 3 4 2 4 a) Hur stor är sannolikheten att båda kulorna är röda? P(röd, röd)= 2 5 ∙ 1 4 = 2 20 = 1 10 b) Hur stor är sannolikheten att kulorna har olika färger? P(olika färg)= 2 5 ∙ 3 4 + 3 5 ∙ 1 2 = 6 20 + 3 10 =2∙ 6 20 = 6 10 Svar: 60%

Komplementhändelse SATS: Komplementhändelse Om B är komplementhändelse till A så gäller det: P(A)+P(B)=1 eller P(A)=1-P(B) SATS: Komplementhändelse Hur stor är chansen att fä minst en 6:a när vi kastar två tärningar ? 2:a kast 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1:a kast Ett sätt – med hjälp av diagram P(minst en 6:a)= 11 36 Ett annat sätt - med komplementhändelsen Första tärning P(inte få 6:a)= 5 6 Andra tärning P(inte få 6:a)= 5 6 P(ingen av tärningarna visar 6:a)= 5 6 ∙ 5 6 = 25 36 P(minst en 6:a)= 1- P(ingen 6:a)=1- 25 36 = 11 36

Hur ofta inträffar en händelse? Kalle kastar tärning. Hur många gånger bör tärningen visa en “fyra” om han gör 300 kast? P(fyra)= 1 6 Om Kalle gör 300 kast kan han förvänta sig att antalet “fyror” är 300∙ 1 6 =50 Svar: 50 gånger Antal försök med gynnsamma utfall= Sannolikhet∙ Totala antalet försök

Relativ frekvens Ibland när vi räknar på sannolikheter kan vi på förhand inte veta hur stor sannolikhet det är att något utfall kommer att ske. I de fallen måste vi använda oss av experiment för att räkna ut vilken sannolikhet olika utfall har. Kastar vi ett häftstift, då vet vi att det kan landa med stiftet upp eller med stiftet ner men vi kan inte innan kastet veta vilken sannolikhet något av dessa fall har. Vi måste utföra ett experiment för att ta reda på sannolikheten de två utfallen har. Ju fler experiment som görs, desto säkrare blir resultaten.

Relativ frekvens Låt oss utföra experimentet med häftstiften. I första försöket kastar vi ett häftstift 30 gånger, i det andra försöket kastar vi det 150 gånger och i det tredje kastar vi det 400 gånger. Efter varje experiment räknar vi ut sannolikheten som vi kallar den relativa frekvensen.

Relativ frekvens Ju fler kast vi gör desto närmare sanningen är vi. Antal kast Stift upp Stift ner Relativa frekvensen för stift upp  Relativa frekvensen för stift ner  30  15 15 15/30=0,5 150  90 60  90/150=0,6 60/50=0,4  400  260  140 260/140=0,65  140/400=0,35 Ju fler kast vi gör desto närmare sanningen är vi. I många fall måste sannolikheter räknas ut på detta sätt och då får vi nöja oss med att sannolikheterna aldrig kommer vara exakta, utan endast en uppskattning.

Statistik i samhälle och vetenskap Statistik handlar om att samla in data och information, och sedan analysera och utvärdera den.  Varför gör man det? För att kunna förstå det man studerar och även kunna förutsäga framtida händelser, till exempel hur ett politiskt val kommer att gå.

Linjediagram Används för att åskådliggöra ett förlopp som ändras över tid

Stolp- och stapeldiagram Vilken är skillnad mellan stapel- och stolpdiagram? När antal skall åskådliggöras, i det fallet antal barn per familj, änvänds stolpdiagram. När x-axeln visar kategorier, använd stapeldiagram.

Cirkeldiagram När man vill åskådliggöra andelar.

Histogram Alla åldrar indelade i åldersgrupper i en by Vad kan vi säga om invånarnas ålder? Antal invånare i varje åldersgrupp

Vilseledande statistik

Några statistiska lägesmått I det här avsnittet repeteras: Medelvärde Median Typvärde Medelvärde= 𝑠𝑢𝑚𝑚𝑎𝑛 𝑎𝑣 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑜𝑐ℎ 𝑠𝑘𝑟𝑖𝑣𝑠 𝑥 När observationerna har ordnats i storleksordning, är median det värdet som ligger i mitten. Typvärdet är det värde som är vanligast. Variationsbredd=skillnaden mellan det största och det minsta värdet. DEFINITION: Lägesmått

Blandade uppgifter

Vad är sannolikheten att få minst en sexa om du kastar tärning 9 gånger?

Förslag för repetition Onsdag Kapitel 1 & 2 Torsdag Kapitel 3 Fredag Kapitel 4

Repetition- Kapitel 1 & 2