Kapitel 2 Förändringshastigheter och derivator manada.se

2.2 Gränsvärde och derivatas definition Förkunskaper: Algebrais uttryck Ekvationslösning Räta linjens ekvation Funktioner och deras grafer Begreppen kontinuerlig och diskontinuerlig funktion Begreppet gränsvärde

Gränsvärde Du har en godisrem som är 1 m lång Varje timme äter du hälften Antal meter godis efter 4 timmar är 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 = 1 2 1 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 ≈ 0,9375 Kommer du någonsin att ha ätit upp hela godisremmen? Antal meter godis som du har ätit efter 𝒏 timmar är 1 2 1 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 + …+ 1 2 𝑛 Summa närmar sig 1 𝑚 men du kommer aldrig att ta den sista biten Det är exempel på gränsvärde Efter 1 timme finns kvar 𝟏 𝟐 m Efter 2 timmar finns kvar 𝟏 𝟒 m Efter 3 timmar finns kvar 𝟏 𝟖 m Efter 4 timmar finns kvar 𝟏 𝟏𝟔 m manada.se

Gränsvärde Summa går mot 1 (m) då 𝒏 (antal timmar) går mot oändligheten lim 𝑛→∞ 1 2 1 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 + …+ 1 2 𝑛 = 1 Symbolen för ”oändligheten” är ∞ Ordet limes (lim) betyder gräns på latin Gränsvärde lika med 1 manada.se

Gränsvärden Funktionen 𝑓 𝑥 = 𝑥2−1 𝑥−1 är inte definierad för 𝒙 = 1, eftersom nämnare då är 𝟎 Men om vi låter 𝒙-värdena närma sig 1, så kan vi se att funktionsvärdet närmar sig 2 𝒙 𝒇(𝒙) 0,9 1,9 1,1 2,1 0,99 1,99 1,01 2,01 0,999 1,999 1,001 2,001 manada.se

Gränsvärden f(x) → 2 när x → 1eller Vi säger att f har gränsvärde 2, när x går mot 1 f(x) → 2 när x → 1eller 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → 𝟏 𝒇 𝒙 =𝟐 Limes av f(x) när x går mot 1, är 2 Limes (latinets) betyder gräns eller gränslinje En funktion som inte är definierad i en viss punkt ändå kan ha ett gränsvärde för den punkten manada.se

Oändligheten Funktionen 𝑔(𝑥) = 1 𝑥 kan ha gränsvärde när 𝑥 går mot oändligheten När 𝑥 blir allt större i 𝑔(𝑥) = 1 𝑥 , så blir 𝑔(𝑥) allt mindre I figuren ser vi att när 𝑥 närmar sig 0 i 𝑔(𝑥) = 1 𝑥 där 𝑥>0, så blir 𝑔(𝑥) allt större Oändligheten är inget tal och har därför inget bestämt värde Funktionen har det oegentliga (bildliga) gränsvärde +∞ När 𝑥 närmar sig 0 i 𝑔(𝑥) = 1 𝑥 där 𝑥<0, så blir 𝑔(𝑥) allt mindre Funktionen har det oegentliga gränsvärde −∞ manada.se

En kurvans lutning manada.se

En kurvans lutning Punkt B är rörlig punkt på kurvan och närmar sig punkt A Lutningen 𝒌 för linjen genom A och B 𝑘 = 𝑓 𝑥 −𝑓(1) 𝑥−1 y B ( x, f(x)) A (1,f(1)) x manada.se

En kurvans lutning Lutning = 0 Negativ - Positiv + Positiv + manada.se

Lutning – en animering Klicka på bilden. manada.se

Derivative Tracer (GeoBra) manada.se

En kurvans lutning 𝒚 Att punkten B närmar sig punkten A innebär att 𝒙närmar sig 1 𝒙⟶1 Linjen närmar sig ett gränsläge där linjen tangerar kurvan i punkt A Linjen är tangent till kurvan sekant B ( 𝒙, 𝒇(𝒙)) A (1, 𝒇(1)) 𝒙 1 𝒚 tangent A (1, 𝒇(1)) 𝒙 1 manada.se

En kurvans lutning En kurvans lutning i en viss punkt = tangentens lutning i punkten För tangentens lutning i den punkt där 𝑥=1 är 𝒌 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝑓 𝑥 −𝑓(1) 𝑥−1 Ordet gräns skrivs ”limes” på latin, förkortas ”lim” Ett gränsvärde av den här typen kallas också derivata Derivata (dérivé, franska) betyder ungefär härledd som innebär i det här fallet som en naturlig följd av något manada.se

DERIVATAN manada.se

Förändringen av hastigheten just nu är derivatan av hastigheten Derivata är ett av matematikens sätt att beskriva förändring vid en viss tidpunkt Exempel 1 Här kommer en cyklist och vi fryser tiden så att händelsen och cyklist står helt stilla ”Frys händelsen” Hastigheten 20 km/h Vi säger att just i den frysta ögonblicket kör bilen med hastigheten 90 km/h Då kan vi fundera på Vad förändringen av hastigheten just nu i den frysta händelsen? Förändringen av hastigheten just nu är derivatan av Hastigheten! Och den beskriver man med fysikaliska termen acceleration som just nu är förändring av hastigheten Vad är förändringen av hastigheten just nu i den frysta händelsen? Förändringen av hastigheten just nu är derivatan av hastigheten Den beskriver man med fysikaliska termen acceleration som just nu är förändring av hastigheten manada.se

Exempel 2 Här skyter vi upp en boll och fryser bollen och händelsen precis på toppen av dess bana. ”Frys händelsen” Vad är förändringen av höjden just nu i den frysta händelsen? Förändringen av höjden just nu är derivatan av höjden Just nu så står det bollen still, så höjden förändras inte alls. Så derivata är ju 0 m/s vid den här tillfället Höjd: 3 meter manada.se

Vi låter bollen åka när åt marken igen så fryser vi händelse precis innan den träffar marken vid 0,5 m Vad är förändringen av höjden just nu i den frysta händelsen? Förändringen av höjden just nu är derivatan av höjden Derivatan är just nu negativ (t.ex. -1 m/s) då bollen är tillbaka igen mot marken ”Frys händelsen” Höjd: 0,5 meter manada.se

Derivata Förändringshastigheten vid en viss tidpunkt Derivatan kopplar man alltid med funktioner och man betecknar derivatan på ett speciellt viss. Om vi har en funktion 𝒇(𝒙) betecknas derivata som 𝒇´(𝒙) ”𝑓 𝑝𝑟𝑖𝑚 𝑎𝑣 𝑥” Man sätter en apostrof mellan f-et och x-et och då menar man att det är derivatan till funktionen manada.se

Exempel Funktionen 𝒇(𝒙) ger höjden på en boll efter 𝒙 sekunder betyder att efter 0,5 sek bollen befinner sig på 1 m höjd f´(0,5) = 1,5 betyder att efter 0,5 s förändras höjden (+1,5) m/s uppåt f´(1) = 0 betyder att efter 1 sekund förändras inte höjden något och bollen befinner sig i toppen f´(1,5) = (-1) betyder att efter 1,5 sekunder är bollen på väg neråt. Höjden minskar med 1 m/s Höjd, 𝒇(𝒙) Tid, 𝒙 manada.se

Växande och avtagande Om derivatan är positiv så är funktionen växande B C Funktionen 𝒇(𝒙) har en maximum punkt Tangentens 𝒌-värde är 0 Derivatan 𝒇´(𝒙) är 0 Funktionen 𝒇(𝒙) är avtagande Tangentens 𝒌-värde är negativt Derivatan 𝒇´(𝒙) negativ Funktionen 𝒇(𝒙) är växande Tangentens 𝒌−värde är positivt Derivatan 𝒇´(𝒙) positiv Om derivatan är positiv så är funktionen växande Om derivatan är negativ så är funktionen avtagande manada.se

Derivatans användning När vi behöver få reda på hur ett värde har förändrats under en viss tid använder vi begreppet derivata För att bestämma förändringshastighet För att bestämma andra förändringar: bakterietillväxt, befolkningsmängd tillväxt ekonomiska förlopp muskeltillväxt För att generalisera till ytor, volymer, fysikaliska processer För att analysera kurvor (förlopp) Derivata är utgångspunkt för mycket inom matematiken och fysiken manada.se

Kommunicera Skriv en ekvation för en funktion 𝑦=𝑓(𝑥) där ändringskvoten Δ𝑦 Δ𝑥 alltid lika stor Vad kallas de funktioner som har konstant ändringskvot? Vad är det för skillnaden mellan följande uttryck 𝑓(2) och 𝑓´(2) För en funktion 𝑦=𝑓(𝑥) är 𝑓(3) =2 och 𝑓´(3) = (−1). Förklara vad det betyder. manada.se

Svar 𝑦 = 3𝑥+4 linjer funktion 𝑓(2) – temperaturen vid tiden 𝑡=2 𝑓´(2) – ändring av temperaturen då tiden 𝑡=2 Grafen går genom punkt (3,2) och lutningen i punkten är (−1) manada.se

Med hjälp av gränsvärdet kan vi definiera derivatas värde i en punkt Begreppet derivata Δ𝒚 =𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) Δ𝒙 =𝑥+ℎ−𝑥=ℎ Δ𝒚 𝒌 𝑷𝑸 = ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ 𝚫𝒙=𝒉 Om vi väljer punkt Q allt närmare punkten P dvs avståndet 𝒉 blir allt mindre, så kommer sekantens lutning att närma sig tangentens lutning Vi söker gränsvärde för ∆𝒙 ∆𝒚 = 𝒇 𝒙+𝒉 −𝒇(𝒙) 𝒉 då ℎ⟶0 men vi kan inte låta ∆𝑥 vara noll! Det skulle ge division med noll, vilket inte definierat. Med hjälp av gränsvärdet kan vi definiera derivatas värde i en punkt manada.se

Derivatans definition Boken sidan 86 manada.se

Derivatas definition Funktionens derivatan för alla 𝒙 manada.se

Konstanta funktioner Om funktionen 𝒇 𝒙 =𝒌, där 𝒌 är en konstant, så funktionens derivatan 𝒇′(𝒙) = 0 manada.se

Derivata för linjära funktion 𝑦=𝑘𝑥+𝑚 Om 𝑓 𝑥 =𝑘𝑥+𝑚 är 𝒇′(𝒙) = 𝑘 manada.se

Uppgift 2208 s. 86 För funktionen 𝑓 gäller att 𝑓 𝑥 =5 𝑥 2 . Bestäm med hjälp av derivatas definition 𝑎) 𝑓´ 4 𝑏) 𝑓´(𝑎) 1. Ställ upp och förenkla differenskvoten 𝒂) 4+ℎ −𝑓(4) ℎ = 5 (4+ℎ) 2 −5∙ 4 2 ℎ == 5 16+8ℎ+ ℎ 2 −80 ℎ = 80+40ℎ+5 ℎ 2 −80 ℎ == 40ℎ+5 ℎ 2 ℎ = ℎ(40+5ℎ) ℎ =40+5ℎ 2. Låt 𝒉→𝟎 𝑓´ 4 = lim ℎ→0 40+5ℎ=40 manada.se

Uppgift 2208 s. 86 1. Ställ upp och förenkla differenskvoten 𝒃) 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎) ℎ = 5 (𝑎+ℎ) 2 −5∙ 𝑎 2 ℎ == 5 𝑎 2 +2𝑎ℎ+ ℎ 2 −5∙ 𝑎 2 ℎ = 5 𝑎 2 +10𝑎ℎ+5 ℎ 2 −5 𝑎 2 ℎ == 10𝑎ℎ+5 ℎ 2 ℎ = ℎ(10𝑎+5ℎ) ℎ =10𝑎+5ℎ 2. Låt 𝒉→𝟎 𝑓´ 𝑎 = lim ℎ→0 10𝑎+5ℎ=10 𝑎 Svar: 𝒂) 𝒇´ 𝟒 =𝟒𝟎 𝒃) 𝒇´ 𝒂 =𝟏𝟎𝒂 Kommentar: Resultatet innebär att för funktionen 𝑓 𝑥 =5 𝑥 2 gäller 𝑓´ 1 =10∙1=10 𝑓´ 2 =10∙2=20 𝑓´ 3 =10∙3=30 osv. manada.se