Kapitel 1 Algebra och linjära modeller manada.se

1.2 FUNKTIONER manada.se

Storheter Storheter Enheter En resans längd km, m, mil Kroppslängd m, dm, cm Ålder År, månad, dag Inkomst kr, En bilens hastighet km/h, m/sec Beror en storhet på en annan kan vi säga att den ena storheten är en funktion av den andra. Till exempel Skatten man betalar på sin inkomst beror på hur mycket man tjänar, vi kan säga att inkomstskatten är en funktion av inkomsten. manada.se

Funktionsmaskin 𝒚=𝟐𝒙+𝟏 Värde 𝒙 in 𝟐𝒙+𝟏 Värde 𝒚 ut Vad gör funktionsmaskinen? Vilken funktion har den? Hur kan man skriva funktionen? 𝟐𝒙+𝟏 Värde 𝒚 ut IN x UT y 1 3 2 5 7 4 9 11 UT värdet = IN värdet gånger 2 plus 1 𝒚=𝟐𝒙+𝟏 manada.se

Funktioner definition En funktion är en regel som beskriver ett samband mellan olika variabler (t.ex. 𝑥, 𝑦, alltså tal som kan anta olika värden) En funktion kan beskrivas på olika sätt: Tabell – visar dock bara vissa värden (inte alla) Formel – visar ett samband Graf – kan ritas med hjälp av en tabell eller en formel En funktion visar ett beroende / en relation

Definitionsmängd och värdemängd Definitionsmängd (Df) är de värden som 𝒙 kan anta. tänk efter vad som är möjligt, vi kan t.ex. inte köpa (-5) ℎ𝑔 godis Kom-ihåg-tips: definitionsmängden definieras det rör sig alltså om den oberoende variabeln 𝒙 Värdemängd (Vf) är de värden som 𝒇(𝒙) kan anta tänk efter vad som är möjligt, vi kan inte betala (-40 kr) Kom-ihåg-tips: Värdemängden 𝒇(𝒙) är beroende av definitionsmängen 𝒙 för att få ett värde funktionsmaskin

Värdetabell Visar ”momentana” värden Blir till koordinater! ”T.ex. varje Japp du köper kostar 5:-” 0 japp  0:- 2 japp  10:- 4 japp  20:- Osv…

Funktioner En regel som till varje tillåtet 𝒙-värde ger exakt ett 𝒚-värde kallas en funktion. Vi säger då att y är en funktion av x 𝒚 𝒚=𝒙+1 • (5,6) 3 • x y 1 2 3 4 5 6 (2,3) 𝒙 2 manada.se

𝒇(𝒙) Funktionen kan betecknas som 𝒚 eller 𝒇(𝒙) 𝒇(𝒙) utläses f av 𝒙 𝒇 är en funktion av 𝒙 Men det går lika bra att säga 𝒚 manada.se

Funktioner 𝒇(𝒙) Man kan skriva funktioner för samtalskostnaden på följande sätt 𝒚=𝟎,𝟓𝒙+𝟎,𝟓 𝒇(𝒙)=𝟎,𝟓𝒙+𝟎,𝟓 Man kan säga att 𝒇(𝒙) är ungefär samma sak som 𝒚. Kostnaden för ett telefonsamtal kostnad tid 1 2 3 4 5 6 min 7 kr   𝒇(𝒙)⟹den generella funktionen 𝒇(𝟑) ⟹ vad blir funktionens värde då 𝒙 är 3 (𝑣𝑎𝑑 𝑘𝑜𝑚𝑚𝑒𝑟 𝑠𝑎𝑚𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑡𝑡 𝑘𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑓ö𝑟 3 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑟) 𝒇(𝒙) är den vanligaste beteckningen men kan kalla funktionerna för vilken bokstav man vill, till exempel 𝒈(𝒙) och 𝒉(𝒙) manada.se

Exempel Låt 𝑓 𝑥 =−9𝑥+2 𝑎) Bestäm 𝑓(–4) 𝑓 –4 =−9×(–4)+2=36+2=38 Vad blir funktionens värde då 𝑥 är (–4). 𝑓 –4 =−9×(–4)+2=36+2=38 𝑏) Bestäm 𝑓(0) Vad blir funktionens värde då 𝑥 är 0. 𝑓 0 =−9× 0+2=0+2=2 manada.se

Funktion eller inte funktion? JA! JA! NEJ! Testa om det är en funktion med VERTIKALTESTET manada.se

Funktioner 𝒙 Definitionsmängd Värdemängd En klassisk bild för att beskriva funktioner Funktionen 𝒇 beskriver samband mellan olika storheter. 𝒇 𝒙 𝒚=𝒇(𝒙) Definitionsmängd Värdemängd Anger vilka värden som är tillåtet att använda i funktionen. Det är till exempel inte ok att använda 𝒙=2 i 𝒚= 5 𝑥−2 då division med 0 är odefinierad. Är de tal vilka vi kan få då vi matar in de värden som ingår i definitionsmängden i funktionen. Vi kan se det som de svar vi kan få av funktionen manada.se

Definitionsmängd och värdemängd Formel för rektangels area : 𝑨=𝒚=𝒙 𝟏𝟐−𝟐𝒙 𝒚=𝟏𝟐𝒙−𝟐𝒙𝟐 Med hjälp av denna regel (formel) kan vi beräkna 𝒚 för varje tillåtet 𝒙-värde Men vilka 𝒙-värde är tillåtna? 𝟏𝟐−𝟐𝒙> 0 𝟏𝟐−𝟏𝟐−𝟐𝒙>𝟎−𝟏𝟐 −𝟐𝒙>−𝟏𝟐 −2𝑥 −2 > −12 −2 𝒙<𝟔 Kravet att sidornas mätetal ska vara positiva ger direkt at 𝒙 > 0 och 𝟏𝟐−𝟐𝒙> 0 𝒙 > 0 och 𝒙<𝟔 manada.se

Interval 𝒙 > 0 och 𝒙 < 6 manada.se

Funktionen 𝒚=𝟏𝟐𝒙−𝟐𝒙𝟐 En tabell ger oss några viktiga 𝒚 –värden innan vi ritar grafen Definitionsmängd: de tillåtna 𝑦-värdena i intervalet 0 < 𝑥 < 6 𝑥 1 2 3 4 5 6 𝑦 10 16 18 Värdemängd: de erhållna 𝑦−värdena (area) inom intervalet 0 < 𝑦 ≤ 18. Talet 18 tillhör värdemängd men däremot inte talet 0. Värdeaxel, 𝒚 Grafen visar hyr 𝒚 (area) varierar då 𝒙 (sidolängd) ändras inom definitionsmängd Definitionsaxel, 𝒙 Om rektangelns mått är 3 𝑚∙6 𝑚 så är största arean 18 𝑚2 manada.se