Kap. 3 Derivator och Integraler Matematik 4 Kap. 3 Derivator och Integraler

Innehåll 3.1 Derivator och deriveringsregler 3.2 Grafer 3.3 Differentialekvationer 3.4 Integraler 3.5 Tillämningar och problemlösning

3.1 Derivator och deriveringsregler

Kort om derivator

Kort om derivator

OBS! konstant derivera term för term

Hittar du denna i formelbladet? Produktregeln Hittar du denna i formelbladet?

Hittar du denna i formelbladet? Kvotregeln Hittar du denna i formelbladet?

Hittar du denna i formelbladet? Derivatan av y = tan x Hittar du denna i formelbladet? Vi tar hjälp av kvotregeln: Quod erat demonstrandum Uppslagsordet ”Q.E.D” leder hit. För den engelska förkortningen, se Kvantelektrodynamik. Quod erat demonstrandum (Q.E.D.) är en latinsk fras som ungefär kan översättas till svenska som "det som var menat att bli demonstrerat" eller "vilket skulle bevisas". Förkortningen används inom matematiken för att visa att ett bevis är slutfört (med önskat resultat). Skrivsättet är en gammal tradition. Redan de gamla grekerna, inklusive Euklides och Archimedes, klargjorde på detta sätt, fast på grekiska, att ett bevis var slutfört. Motsvarande svenska fraser är "vilket skulle bevisas" (förkortas V.S.B.) eller alternativt "vilket skulle visas" ("VSV", före stavningsreformen 1906 "HSB", 'Hvilket…'). Idag används även symbolen ■ (ifylld kvadrat) för att markera att ett bevis är avslutat, en notation som infördes av Paul Halmos. Praktiskt skrivs förkortningen "Q.E.D." eller den svenska motsvarigheten "V.S.B." i slutet av bevis, efter svaret.

Hittar du denna i formelbladet? Derivatan av y = tan x Hittar du denna i formelbladet? Quod erat demonstrandum Uppslagsordet ”Q.E.D” leder hit. För den engelska förkortningen, se Kvantelektrodynamik. Quod erat demonstrandum (Q.E.D.) är en latinsk fras som ungefär kan översättas till svenska som "det som var menat att bli demonstrerat" eller "vilket skulle bevisas". Förkortningen används inom matematiken för att visa att ett bevis är slutfört (med önskat resultat). Skrivsättet är en gammal tradition. Redan de gamla grekerna, inklusive Euklides och Archimedes, klargjorde på detta sätt, fast på grekiska, att ett bevis var slutfört. Motsvarande svenska fraser är "vilket skulle bevisas" (förkortas V.S.B.) eller alternativt "vilket skulle visas" ("VSV", före stavningsreformen 1906 "HSB", 'Hvilket…'). Idag används även symbolen ■ (ifylld kvadrat) för att markera att ett bevis är avslutat, en notation som infördes av Paul Halmos. Praktiskt skrivs förkortningen "Q.E.D." eller den svenska motsvarigheten "V.S.B." i slutet av bevis, efter svaret. quod erat demonstrandum

Hittar du denna i formelbladet? Derivatan av y = ln x Hittar du denna i formelbladet?

Derivatan av trigonometriska funktioner Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriska funktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer? Genom att utföra samma beräkning med en räknare som först ställts in på radianer och sedan på grader (degree). OBS! 1 RAD  57,2957795130823°

Derivatan av trigonometriska funktioner Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriska funktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer? OBS! /4 RAD = 45°

Derivatan av trigonometriska funktioner En liten film som visar varför man skall använda radianer när man använder derivatan till trigonometriska formler. http://wikiskola.se/index.php?title=Derivatan_av_trigonometriska_funktioner

Kedjeregeln (Uppgift 3178)

Kedjeregeln (Uppgift 3178) Volymen V beror av radien r som i sin tur beror av tiden t yttre derivatan × inre derivatan

Kedjeregeln (Uppgift 3178) Volymen V beror av radien r som i sin tur beror av tiden t yttre derivatan × inre derivatan

Uppgift 3178

Uppgift 3178

Kedjeregeln (Uppgift 3173)

Kedjeregeln (Uppgift 3173) Ballongens volym V ändras när radien r ändras. Den volymändringen kan vi skriva som dV/dr. Om vi multiplicerar denna med radien förändringshastighet, dr/dt får vi volymens hastighet dV/dt. Detta kan skrivas: Kedjeregeln Vi vill veta hur snabbt radien ökar, alltså: För att kunna göra detta måste vi veta:

Kedjeregeln (Uppgift 3173) Vi måste ta reda på: Texten ger oss den första: Den andra får vi genom att derivera volymen för ett klot (en sfär):

Kedjeregeln (Uppgift 3173) Vad skulle vi beräkna? JO! Ekvation: Texten ger oss att r = 18 cm. Svar: När radien är 18 cm ökar den med c:a 0,0074 cm/s för att volymen skall öka med 30 cm³/s.

3.2 Grafer och derivator

Grafer och derivator

Grafer och derivator

Grafer och derivator 1, 3, 4 5 1, 6 2, 3, 5 1, 3, 4 5 1, 6 2, 3, 5

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

Olika typer av grafer (Se sidan 120)

Hur skall man tänka för att hitta asymptoterna till denna funktion? Olika typer av grafer Hur skall man tänka för att hitta asymptoterna till denna funktion?

Har spetsen någon lutning? Olika typer av grafer Har spetsen någon lutning?

Olika typer av grafer DESMOS

Olika typer av grafer

Olika typer av grafer

Asymptot Vad heter denna graf? Inom matematiken är en asymptot en rät linje (eller annan enkel kurva) som en funktion närmar sig allt mer när man närmar sig definitionsmängdens gränser. Huvudsakliga användningsområdet är att approximera hur en funktion uppför sig i något område (vanligen då variabeln är mycket stor, det vill säga går mot oändligheten). Vad heter denna graf? Källa: http://sv.wikipedia.org/wiki/Asymptot

3.3 Differentialekvationer En ekvation med en obekant funktion och en eller flera av denna funktions derivator kallas för en differentialekvation. Differentialekvationens lösning är en funktion.

Differentialekvationer, exempel 1 Undersök om: VL = HL, alltså är funktionen en lösning.

Differentialekvationer, exempel 2 Undersök om:

Differentialekvationer, exempel 2 Undersök om: VL ≠ HL, alltså är funktionen inte en lösning.

Differentialekvationer, exempel 3

Resonemang och begrepp Vad är det för skillnad mellan att derivera en summa av två funktioner och att derivera en produkt av två funktioner? Förklara hur man skriver exponentialfunktionen med e som bas. Varför väljer man gärna e som bas i exponentialfunktioner?

Resonemang och begrepp Mönster Exempel 2 Exempel 1 Specialfall y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion

Ett exempel y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion

Ett till exempel y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion

Resonemang och begrepp y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion http://www.rapidtables.com/math/algebra/logarithm/Logarithm_Derivative.htm

Resonemang och begrepp Kontroll y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion Yttre derivata Inre derivata

Resonemang och begrepp y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion Yttre derivata Inre derivata

Resonemang och begrepp y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion

Resonemang och begrepp y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion ?

Resonemang och begrepp Vad är det för skillnad mellan att derivera en summa av två funktioner och att derivera en produkt av två funktioner? Summa Produkt y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) (Se ett till exempel nedan!) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion y=lg(2x)  y’ = (1/(2x*ln(10)))*2 OBS! Glöm ej yttre derivata här!

Resonemang och begrepp y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) (Se ett till exempel nedan!) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion y=lg(2x)  y’ = (1/(2x*ln(10)))*2 OBS! Glöm ej yttre derivata här!

Resonemang och begrepp y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) (Se ett till exempel nedan!) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion y=lg(2x)  y’ = (1/(2x*ln(10)))*2 OBS! Glöm ej yttre derivata här!

Resonemang och begrepp y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) (Se ett till exempel nedan!) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion y=lg(2x)  y’ = (1/(2x*ln(10)))*2 OBS! Glöm ej yttre derivata här!

Resonemang och begrepp I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion. y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) (Se ett till exempel nedan!) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion y=lg(2x)  y’ = (1/(2x*ln(10)))*2 OBS! Glöm ej yttre derivata här!

Uppgift 3304, sidan 129 y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) (Se ett till exempel nedan!) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion y=lg(2x)  y’ = (1/(2x*ln(10)))*2 OBS! Glöm ej yttre derivata här!

Uppgift 3304, sidan 129 Vsv. y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) (Se ett till exempel nedan!) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion y=lg(2x)  y’ = (1/(2x*ln(10)))*2 OBS! Glöm ej yttre derivata här!

Är detta en lösning till visad differentialekvation? Uppgift 3305, sidan 129 Är detta en lösning till visad differentialekvation? y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) -------------------------------------------------------------------------------------- 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) (Se ett till exempel nedan!) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion y=lg(2x)  y’ = (1/(2x*ln(10)))*2 OBS! Glöm ej yttre derivata här! Ej lösning! Hur skall HL se ut för att y skall vara en lösning?

Samband mellan förändringshastigheter Hur förändras volymen beroende tiden? Hur förändras volymen beroende på sidans längd? När sidan är 6 cm, så minskar volymen med 216 cm³/min. Hur lång tid tar det innan volymen är noll? Uppgift 3175 på sidan 115

3.4 Integraler

Integraler

Integraler Integrand Övre integrationsgräns Integraltecken Undre integrationsgräns Integrationsvariabel

Integraler OBS!

Integraler

Integraler

Integraler

Integraler

Integraler På räknaren rjCalc: (-cos(5)+3×5) = 14,7163378145 (-cos(5)+3×5)-(-cos(1)+3×1) = 12,2566401204

Integraler Beräkna det streckade områdets area exakt och med 3 decimaler.

Integraler Beräkna det streckade områdets area exakt och med 3 decimaler.

Funderare

Funderare

Funderare

Funderare

Funderare

Uppgift 3427 Bestäm det färgade områdets area.

Uppgift 3427 SOLVER TI-82 0 = (3-2X) - (sin(X^2))

Uppgift 3427 fnInt TI-82 fnInt((3-2x),X,0,1.053)-fnInt((sin(x^2)),X,0,1.053)

Uppgift 3427 Bestäm det färgade områdets area. Svar: C:a 1,69 a.e.

Lös integral med hjälp av graf

Lös integral med hjälp av graf Konstanten?

Lös integral med hjälp av räknare

Lös integral med hjälp av algebra

Lös integral med hjälp av algebra

3.5 Tillämpningar och problemlösning

Exempel från det nationella provet

Exempel från det nationella provet

Exempel från det nationella provet Svaret är kollat mer Mathleaks! Det är rätt! Svar: Rotationskroppens volym är c:a 21 v.e.

MARKÖR HÄR!

Deriveringsdiskussion 2017-04-18

Rotationsvolym

Rotationsvolym

Rotationsvolym Beräkna volymen av den kropp, som bildas då det markerade området roterar kring x-axeln.

Rotationsvolym Testa att lösa denna! Beräkna volymen av den kropp, som bildas då det markerade området roterar kring x-axeln. Testa att lösa denna!

Täthetsfunktion för normalfördelning

Täthetsfunktion – TI-82

Täthetsfunktion – TI-82

Täthetsfunktion – TI-84 Plus

Täthetsfunktion för normalfördelning

Täthetsfunktion för normalfördelning

Täthetsfunktion för normalfördelning

Täthetsfunktion för normalfördelning Beräkna den markerade arean.

Täthetsfunktion för normalfördelning Kan vi veta svaret på denna utan att använda räknaren? Testa!

Täthetsfunktion för normalfördelning Beräkna den markerade arean Medelvärde: 46 Standardavvikelse: 5 Undre integrationsgräns: 43 Övre integrationsgräns: 52 Resultat av integral: 61,1 %

Rotationsvolym Det markerade området roterar kring x-axeln. Beräkna dess volym.

Rotationsvolym Det markerade området roterar kring x-axeln. Beräkna dess volym.

Rotationsvolym Det markerade området roterar kring x-axeln. Beräkna dess volym.

3.6 Rotationsvolymer, uppgift 3605

3.6 Rotationsvolymer, uppgift 3606

Täthetsfunktion för normalfördelning

Täthetsfunktion för normalfördelning

Täthetsfunktion för normalfördelning

Täthetsfunktion för normalfördelning

Rubrik

Rubrik

Rubrik