Lite matterepetition Räknesätten, bråk, förkorta, parenteser Procenträkning Koordinatsystem Funktioner och deras grafer Ekvationslösning, ekvationssystem Räta linjer och deras lutning Lutningen av grafer som inte är räta linjer (derivata). Optimering (maximering och minimering)

Exempel 1: Efterfrågan på mjölk Efterfrågan = det som någon är beredd att köpa vid ett visst pris Tänk er en konsument som skulle köpa:   Pris Kvantitet (Liter/månad) 8 kronor 10 liter i månaden 9 kronor 7 liter i månaden 10 kronor 4 liter i månaden 11 kronor 1 liter i månaden

Flera punkter. LÄGRE PRIS - STÖRRE EFTERFRÅGAN HÖGRE PRIS - MINDRE EFTERFRÅGAN Avståndet mellan en punkt och nästa: Tre steg (åt höger) i sidled = 3 Ett steg (neråt) i höjdled = -1 Lutning: -1/3 Samma lutning mellan två punkter oavsett vilket par av punkter vi jämför. Två punkter som inte ligger bredvid varandra som (4, 10) och (10. 8)? Negativ lutning

Exempel 2: En bil som kör med konstant hastighet 90 km/tim Positiv lutning

Funktioner Vi kan se sträckan som en funktion av tiden, S = S(t) Vi kan se efterfrågan som en funktion av priset q = q(p) Till varje värde på (den oberoende) variabeln hör ett bestämt värde på funktionen. På den vågräta axeln har vi den oberoende variabeln. På den lodräta axeln har vi den beroende variabeln. Undantag (av historiska skäl): I ekonomisk litteratur sätter man pris på den vågräta axeln och kvantitet på den lodräta. Om den beroende variabeln ökar då den oberoende ökar får vi en graf som är positivt lutad (som S(t)) Om den beroende variabeln minskar då den oberoende ökar är grafen negativt lutad (som q(p)).

Ekvationen för en rät linje: Med x på den vågräta axeln y på den lodräta Varje rät linje kan beskrivas med en ekvation y = a + bx där a och b är bestämda tal (konstanter)

Y=a+bx Hur tolkas a och b? a anger linjens skärningspunkt med y-axeln alltså där x=0. Y-värdet då x=0. b anger linjens lutning och kallas riktningskoefficient. Då x ökar en enhet ändras y med b enheter. x = 0  y = a; x = 1  y = a + b; x = 2  y = a +2b b>0 Linjen lutar uppåt åt höger. b<0 Linjen lutar neråt åt höger. b=0 Linjen är horisontell. Om ni inte minns, rita på ett rutat papper några (x, y) där y = 3 + 2x, y = 5 – 1,5 x och y = 4 + x 7 7

Linjerna y=2x+1; y=2x+3 och y=2x-2 Linjerna y=2x+1; y=2x+3 och y=2x-2. Samma riktningskoefficient men olika intercept 8

Linjerna y=2x-2 och y=3x-2. Samma intercept men olika lutning. 9

Negativt lutade linjer. y=-2x+4 och y=-3x+6 10

För att lösa ekvationer: Gör samma sak med båda leden tills den okända variabeln står ensam i vänsterledet. Ex 2x + 5 = 5x – 7 Kontrollera sedan lösningen genom att sätta in. Ibland vill man lösa ut en variabel uttryckt i en annan. T.ex anger temperatur i grader celsius uttryckt i grader Fahrenheit.

Utbud och efterfrågan på mjölk Utbud och efterfrågan på mjölk. Antag att utbudet av mjölk uppfyller ekvationen q = 3p -23

Jämviktspris Ekonomiskt: Det pris där efterfrågad kvantitet = utbjuden kvantitet. Grafiskt: Det pris där utbuds- och efterfrågekurvorna skär varandra. Matematiskt: Lösningen på ett ekvationssystem.

q = 3p -23 q = 34 – 3p 3p – 23 = 34 – 3p 3p – 23 + 3p = 34 – 3p + 3p  3p – 23 = 34 – 3p 3p – 23 + 3p = 34 – 3p + 3p 6p - 23 = 34 6p - 23 + 23 = 34 + 23 = 57 p = 57/6 = 19/2 = 9,5 q = 5,5

Vad säger “lutningen av en funktions graf” oss om funktionen inte är linjär? T. ex f(x) = x3 – 5/2 x2 – 2x + 3 Lutningen är olika i olika delar av grafen. Kan vi sätta ett värde på lutningen i varje enskild punkt?

Mellan x = 0 och x = 2 ökar funktionen från y = 0 till y = 4 Den genomsnittliga lutningen är 4/2 = 2. Men vad är lutningen i t ex punkten x = 0,5, y = 0,25? En bil kör 90 km på en timme. Den genomsnittliga hastigheten är 90 km/tim. Men hastighets-mätaren visar hastigheten i ett visst ögonblick.

Tangent och derivata För att hitta lutningen av grafen i en punkt drar vi en rät linje genom punkten så att linjen inte skär grafen. Linjen kallas för grafens tangent i punkten. Tangentens lutning = grafens lutning och den kallas funktionens derivata i punkten. Eftersom derivatan är olika i olika punkter är den också en funktion.

Regler för att beräkna derivatan: Funktion Derivata y(x) = a + bx y’(x) = b y(x) = x2 y’(x) = 2x y(x) = x3 y’(x) = 3 x2 y(x) = x4 y’(x) = 4x3 y(x) = xk y’(x) = kxk-1 y(x) = f(x) + g(x) y’(x) = f’(x) + g’(x) y(x) = k*f(x) y’(x) = k*f’(x)

Övningsexempel: f(x) = 3x +4 i x = 2 g(x) = 4x2 i x = 3 h(x) = 2 i x = 1000 t(s) = t3 -4 t2 +5t +7 i t = 1

Maximi- och minimipunkter f’(x)>0 f’(x)<0

I maximi- och minimipunkter är derivatan noll. f’(x)>0 f’(x)=0 f’(x)<0 f’(x)=0

Övningsexempel:

Räkneregler Addition och multiplikation är kommutativa: 2+3 = 3 + 2 2*3 = 3*2 Om ett uttryck innehåller flera räkneoperationer går multiplikation och division före addition och subtraktion 2 + 5*3 - 10/2 = 2 + 15 – 5 =12 Om man vill ändra ordningen behövs parenteser.

Parenteser Antag att du tjänar 100 kr/tim men för övertidstimmar (mer än 8 timmar samma dag) betalas ett tillägg på 50 kr/tim. Vad blir lönen en dag med 10 timmars arbete (alltså 2 timmars övertid) 8*100 + 2*100 +50 = 1050? Nej, 8*100 + 2*(100 +50) = 1100

Den distributiva lagen “knyter ihop” addition och multiplikation: a(b+c) = ab + ac 2(100+50) = 200 + 100 =30 7*(399) = 7*(400-1) = 2800 – 7 = 2793 13*(103) = 13*100 + 13*3 = 1339 Multiplikation av parenteser: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc +bd

Bråk (kvoter) Addition/subtraktion Ex. 1/6 + 2/3 Multiplikation Division = multiplikation med det omvända värdet.

Övning: Om 4 kg äpplen kostar 60 kr, vad är kilopriset? Om ¼ kg körsbär kostar 10 kr, vad är kilopriset? Beräknade du priset på samma sätt i båda fallen?

Förkortning av bråk För att addera bråk använde vi Om a/b = ac/bc så är ac/bc = a/b (c 0) Vi kan förkorta = dela nämnare och täljare med samma tal. Men hela nämnaren och täljaren måste delas. (ab+c)/bd  (a+c)/d Men (ab+c)/bd = (ab/bd) + c/bd = a/d + c/bd ab/(bc+d)  a/(c+d)

Procenträkning Procent = hundradelar. Övning 1: X tjänar 20 000/månaden och Y 40 000. Hur många procent mer än X tjänar Y? Hur många procent mindre än Y tjänar X? Övning 2: Vad händer med reallönerna om a) Priserna ökar med 5% och de nominella lönerna med 7%? b) Priserna ökar med 300% och de nominella lönerna med 200%? Övning 3: Skriv som bråkdelar 50%, 25 % , 40 %, 75%. Förkorta så långt det går.