Diskreta slumpvariabler

Stokastiskvariabel En slumpvariabel (stokastisk variabel) är en Funktion eller regel som tilldelar ett tal till varje Utfall av ett experiment. Betecknas vanligtvis med en stor bokstav i slutet på arbetet. X, Y, Z – Ex 1) X = Antal prickar på en tärning. – Ex 2) Y = Antal rökare bland tre tillfrågade.

Stokastiskvariabel En stokastiskvariabel (S.v.) är diskret om den antar ett ändligt eller uppräknerligt antal värden Antal prickar Antal bilar Antal defekta enheter Antal rökare

Sannolikhetsfunktion Till varje möjligt värde på en diskret Slumpvariabel tilldelas en sannolikhet. P(X = x) = p(x), där X – experimentet och x – utfall Tillsammans bildar dessa sannolikheter den diskreta s.v. sannolikhetsfunktionen

Exempel Låt X vara antal tillverkade enheter per dag. P(X=4)=0.1 P(X=6)=0.3 P(X=8)=0.4 P(X=10)=0.2

Fördelningsfunktion F(x) = P(X ≤ x) kallas för s.v. fördelningsfunktion Forts. exempel F(1) = P(X ≤ 1) = 0 F(4) = P(X ≤ 4) = P(X = 4) = 0.1 F(5) = P(X ≤ 5) = P(X = 4) = 0.1 F(6) = P(X ≤ 6) = P(X = 4) + P(X = 6) = = 0.4 F(8) = P(X ≤ 8) = P(X = 4) + P(X = 6) + P(X = 8) = 0.8 F(10) = P(X ≤ 10) = …= 1 F(100) = P(X ≤ 100) = … = 1

Mått Det finns två mått som sammanfattar en slumpvariabels egenskaper på ett bra sätt: Lägesmått - Väntevärde Spridningsmått – Varians/Standardavvikelse

Väntevärdet Väntevärdet anger det genomsnittliga värdet vid Ett obegränsat antal mätningar. Väntevärdet betecknas vanligtvis med E(X) eller µ

Väntevärde Väntevärdet för en diskretslumpvariabel X definieras som:

Exempel forts. X – Antal tillverkade enheter µ = E(X) = 4· · · ·0.2 = = 7.4

Varians/standardavvikelse Variansen anger det genomsnittliga kvadratiska avståndet till väntevärdet (µ ). Variansen betecknas med V(X) eller σ 2 Nackdel: Variansen tittar på de kvadratiska avstånden vilket resulterar i fel enhet. Använd därför standardavvikelsen = √variansen

Varians/standardavvikelse Variansen respektive standardavvikelsen för en diskret variabel definieras som

Exempel forts. σ 2 = (4 – 7.4) 2 ·0.1 + (6 – 7.4) 2 ·0.3 + (8 – 7.4) 2 ·0.4 + (10 – 7.4) 2 ·0.2 = 3.24 Alternativt: σ 2 = 4 2 · · · ·0.2 – = 3.24 D.v.s. σ 2 = 3.24 och σ = √(3.24) = 1.8

Räkneregler. Viktigt! E(konstant, c) = konstanten, c E(X + c) = E(X) + c E(c·X) = c·E(X) V(c) = 0 V(X + c) = V(X) V(c·X) = c 2 ·V(X)

Exempel forts. Antag att det kostar 3 kr att tillverka en enhet. Y – tillverkningskostnad/dag Y = 3·X E(Y) = 12· · · ·0.2 = 22.2 E(Y) = E(3·X) = 3·E(X) = 3·7.4 = 22.2

Exempel forts. V(Y) = 12 2 · · · ·0.2 = V(Y) = V(3·X) = 3 2 ·V(X) = 3 2 ·3.24 = 29.16

Exempel forts. Antag vidare att det tillkommer en fast kostnad på 30 kr/dag. Z = Y + 30 = 3·X + 30 E(Z) = 42 2 · · · ·0.2 = 52.2 E(Z) = E(Y + 30) = E(Y) + 30 = = 52.2 V(Z) = 42 2 · · · ·0.2 = V(Z) = V(Y + 30) = V(Y) = 29.16

Flerdimensionella s.v Precis som för händelser så kan det vara intressant att studera två eller flera slumpvariabler (X och Y) samtidigt. X och Y är oberoende om P(X = x, Y = y) = P(X = x) ·P(Y = y)

Räkneregler E(X + Y) = E(X) + E(Y) V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2·cov(X,Y) Cov betecknar kovariansen som är variationen mellan de två stokastiskavariablerna. Är X och Y oberoende så är cov(X,Y) = 0

Några diskreta fördelningar

Bernoullifördelningen sägs X vara en Bernoullifördelad slumpvariabel E(X) = 1·π + 0·(1 – π) = π V(X) = 1 2 · π ·(1 – π) – π 2 = π(1 – π) Ofta studerar man en följd av Bernoullifördelade slumpvariabler och får då en Binominalfördelning

Binomialfördelningen Studera n oberoende försök av samma slag. I Varje försök kan en viss händelse, A, inträffa eller utebli med sannolikheten π resp. (1 – π) Om X anger antalet försök där A inträffar sägs X vara en Binomialfördelad s.v.

Binomialfördelningen Sannolikhetsfunktionen för en Binomialfördelad s.v. ser ut som följer: där Skrivsätt: X ~Bin(n, π)

Exempel En viss typ av blomfrön uppges ha 40% Grobarhet. Vad kan vi förvänta oss om vi planterar 3 frön i en kruka? Låt X beteckna antalet groende frön. (Löses på tavlan)

Regler Binomialfördelningen Om följande är uppfyllt så X~Bin(n, π) Oberoende mellan utfallen Fixt antal händelser n Samma sannolikhet π att en händelse inträffar Endast två utfall (lyckas/misslyckas) Slumpvariabeln X betecknar antal lyckade utfall En tabell över Binomialfördelningen finns på s (tabell 5)

Lös övning 3

Hypergeometriskfördelning Betrakta en urna med N kulor varav r är vita. Drag slumpmässigt, utan återläggning, n kulor ur Urnan och låt X = antal vita kulor. X sägs då vara en hypergeometriskslumpvariabel med sannolikhetsfunktion.

Regler Hypergeometriskfördelning X~Hyp(n, N, π) Om N är stort i förhållande till n så kan man approximera med Binomialfördelningen (n/N).

Lös övning 4

Multinomial I en urna finns vita, röda och blå kulor. Drag n kulor med återläggning π 1 – sannolikhet vita kulor π 2 – sannolikhet röda kulor π 3 – sannolikhet blåa kulor π 1 + π 2 + π 3 =1, x 1 + x 2 + x 3 = n

Poissonfördelningen Låt X vara antalet händelser som inträffar i ett visst intervall. Då sägs X vara en Poissonfördelad s.v. med Sannolikhetsfunktion: där µ är det förväntade antalet händelser i ett sådant intervall. X~Po(µ) Finns tabeller i Appendix B tabell 6

Poissonfördelningen Används för att beskriva antalet enheter som kommer inom ett visst tidsintervall. Om X~Po(µ) E(X) = µ V(X) = µ

Lös övning 7