Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

© 2007 Pearson Prentice Hall This work is protected by United States copyright laws and is provided solely for the use of instructors in teaching their.

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "© 2007 Pearson Prentice Hall This work is protected by United States copyright laws and is provided solely for the use of instructors in teaching their."— Presentationens avskrift:

1 © 2007 Pearson Prentice Hall This work is protected by United States copyright laws and is provided solely for the use of instructors in teaching their courses and assessing student learning. Dissemination or sale of any part of this work (including on the World Wide Web) will destroy the integrity of the work and is not permitted. The work and materials from it should never be made available to students except by instructors using the accompanying text in their classes. All recipients of this work are expected to abide by these restrictions and to honor the intended pedagogical purposes and the needs of other instructors who rely on these materials. Lecture Outlines Chapter 11 Physics, 3 rd Edition James S. Walker

2 Chapter 11 Rotational Dynamics and Static Equilibrium

3 Units of Chapter 11 Torque (vridmoment) Torque and Angular Acceleration Zero Torque and Static Equilibrium Center of Mass and Balance Dynamic Applications of Torque Angular Momentum (rörelsemängdsmoment)

4 Units of Chapter 11 Conservation of Angular Momentum Rotational Work and Power The Vector Nature of Rotational Motion*

5 11-1 Torque From experience, we know that the same force will be much more effective at rotating an object such as a nut (mutter) or a door if our hand is not too close to the axis. This is why we have long-handled wrenches (shiftnyckel), and why doorknobs are not next to hinges (gångjärn).

6 11-1 Torque We define a quantity called torque: The torque increases as the force increases, and also as the distance increases.

7 Exercise 11-1 För att öppna dörren i figur 11-1b krävs ett vridmoment på 3,1 Nm. Vilken (tangentiell) kraft krävs om hävarmen är a) 0,94 m ? b) 0,35 m ? Enligt formeln nedan så behövs i fallet a) F = 3,1 Nm/0,94 m = 3,3 N b) F = 3,1 Nm/0,35 m = 8,9 N

8 11-1 Torque Only the tangential component of force causes a torque:

9 11-1 Torque This leads to a more general definition of torque:

10 11-1 Torque If the torque causes a counterclockwise angular acceleration, it is positive; if it causes a clockwise angular acceleration, it is negative.

11 Example 11-1 Torques to the Left and Torques to the Right

12 Example 11-1 Torque to the left and Torque to the Right Två styrmän är oense om hur man skall styra båten och applicerar krafterna F 1 = 72 N och F 2 = 58 N enligt figur. Vad är vridmomentet för respektive kraft då r = 0,74 m? Hur kommer ratten att vrida sig? τ 1 = r F 1 sin 50,0° = 40,8 Nm τ 2 = - r F 2 = - 42,9 Nm τ = 40,8 Nm – 42,9 Nm = - 2,1 Nm (dvs medurs)

13 Figure 11-4 Torque and angular acceleration

14 11-2 Torque and Angular Acceleration Newtons andra lag lyder: Från kapitel 10 vet vi att för en massa m som roterar på avståndet r från en axel så gäller att om vinkelhastighen ändras att Δv t = rΔω så att den tangentiella accelerationen a t kan skrivas a t = rΔω/Δt = r α (ekvation 10-14) Vinkelacceleration blir (I = tröghetsmomentet) α = a t /r = F t /mr = F t r/mr 2 = τ/I

15 11-2 Torque and Angular Acceleration Once again, we have analogies between linear and angular motion:

16 Example 11-2 A Fish Takes the Line Spänningen i linan blir då T. Rullen roterar utan friktion under tiden t. Vad blir a) Δθ ? b) Hur mycket av linan dras ut? c) ω f =?

17 Example 11-2 A Fish Takes the Line Spänningen i linan blir då T. Rullen roterar utan friktion under tiden t. Vad blir a) Δθ ? b) Hur mycket av linan dras ut? c) ω f =? τ = R T τ = I α α = RT / I a) Δθ = θ – θ 0 = ω 0 t + αt 2 /2 = {ω 0 = 0} = RTt 2 /2I b) Δx = R Δθ = R 2 Tt 2 /2I c) ω f = ω 0 + α t = RTt / I [vilket vi naturligtvis också hade fått från ekvationen ω f 2 = ω i 2 + 2α Δθ ]

18 Conceptual Checkpoint 11–1 Which Block Lands First? (α = RT / I)

19 Example 11-3 Drop It

20 Example 11-3 Drop it Armens massa är m och dess längd 0,740 m. a) Vad är begynnelse(vinkel)accelerationen? b) Vad är den linjära (tangentiella) begynnelseaccelerationen för handen? Hint: Armen kan betraktas som en homogen stång (som har tröghetsmomentet I = mL 2 /3). a) τ = I α α = mgL/2I = 3g/2L = 19,9/s 2 Enligt b) a t = r α = L α = 14,7 m/s 2 (för r = 2L/3 är a t = g)

21 11-3 Zero Torque and Static Equilibrium Static equilibrium occurs when an object is at rest – neither rotating nor translating.

22 11-3 Zero Torque and Static Equilibrium If the net torque is zero, it doesn’t matter which axis we consider rotation to be around; we are free to choose the one that makes our calculations easiest. (F 1 = ?, F 2 = ?)

23 Example 11-4a Taking the Plunge (L = 5,00 m, d = 1,50 m, m = 90 kg. Hur stora är F 1 och F 2 ?)

24 Example 11-4b Taking the Plunge (dF 1 = (L- d)mg, dF 2 = mgL) F 1 = kN, F 2 = 2943 N

25 Active Example 11-2 Walking the Plank: Find the Mass

26 Active Example 11-2 Walking the Plank Find the Mass M = 7,00 kg, plankan är 4,00 m och står på två sågbockar, 0,440 m överhäng till vänster och 1,50 m till höger. När katten står längs ut till höger på plankan är normalkraften på vänstra bocken = 0. Beräkna kattens massa. Vridmomentet kring högra bocken ger direkt att mg(1,50 m) = Mg(0,50 m) (CM på mitten) m = M/3 = 2,33 kg

27 11-3 Zero Torque and Static Equilibrium When forces have both vertical and horizontal components, in order to be in equilibrium an object must have no net torque, and no net force in either the x - or y -direction.

28 Vi vill beräkna T och f ( Standard y/x) Beräkna momenten i f:s angreppspunkt. Vridmomentet = 0 ger direkt T eftersom mgH = TV Kraftjämvikt i y-led ger f y = mg Kraftjämvik i x-led ger f x = T Om m = 2,00 kg V = 12,0 cm och H = 15,0 cm blir T = mgH/V = 1,25 mg f = ((1,25) ) 1/2 mg ≈ 1,6 mg Kanske värt att lägga märke till krafterna på stöden är större än vad föremålet väger, som de skall hålla upp!

29 Example 11-5 Arm in a Sling Betrakta underarmen och handen som homogen med massan 1,31 kg och längden 0,300 m. a) Hur stor är spänningen T? b) f x = ?, f y = ?

30 Example 11-5 Arm in a Sling Vi vill beräkna T, f x och f y (Standard y/x) Beräkna momentet i f:s angreppspunkt. T sin(40,0°) L = mgL/2 T = 1,319,81/(20,643) = 10,0 (N) Kraftjämvikt i y-led ger f y + T sin(40,0°) = mg f y = 1,319,81 – 6,43 = 6,42 (N) Kraftjämvik i x-led ger f x = Tcos(40,0°) = 7,66 (N)

31 Active Example 11-3 Don’t Walk Under the Ladder: Find the Forces

32 Active Example 11-3 Don’t Walk under the Ladder: Find the Forces (m = 85,0 kg) (Standard y/x) Vridmomentet kring stegens nedre punkt ger att mg(0,70 m) = f 3 (3,8 m) f 3 = 150 N Kraftjämvikt i x-led ger f 2 = f 3 = 150 N Kraftjämvikt i y-led ger f 1 = mg = 830 N

33 11-4 Center of Mass and Balance If an extended object is to be balanced, it must be supported through its center of mass.

34 11-4 Centre of Mass Balance (Standard y/x) Vridmomentet kring upphängningspunkten ger direkt att m 1 x 1 - m 2 x 2 = 0 dvs m 1 x 1 = m 2 x 2 Använd nu definitionen på masscentrum enligt 9-14 X cm = ∑m i x i /M = (m 1 {-x 1 } + m 2 x 2 )/(m 1 + m 2 ) med hjälp av relationen ovan inses direkt att X cm = 0 så upphängningpunkten går genom systemets tyngdpunkt

35 Example 11-6 A Well-Balanced Meal Beräkna m 1, m 2 och m 3. Stavar och trådar kan anses masslösa.

36 11-4 Centre of Mass Balance (Standard y/x) Vridmomentet kring understa upphängningspunkten ger direkt att m 1 g12 cm = m 2 g18 cm dvs m 1 = 1,5 m 2 Vridmomentet kring näst understa upphängningspunkten ger direkt att 2,5 m 2 g 6 cm = 0,30 kgg24 cm dvs m 2 = 0,48 kg m 1 = 0,72 kg Vridmomentet kring näst understa upphängningspunkten ger direkt att (0,72 + 0,48 + 0,30 + 0,20)kgg18 cm = m 3 g31 cm m 3 = 0,99 kg

37 11-4 Center of Mass and Balance This fact can be used to find the center of mass of an object – suspend it from different axes and trace a vertical line. The center of mass is where the lines meet.

38 Figure 11-8 Equilibrium of a suspended (upphängt) object

39 Conceptual Checkpoint 11–2 Compare the Masses m huvud > = < m skaft ?

40 11-5 Dynamic Applications of Torque When dealing with systems that have both rotating parts and translating parts, we must be careful to account for all forces and torques correctly.

41 11-5 Dynamic Applications of Torque (Standard y/x) Newtons andra lag ger för tyngden T – mg = ma Newtons andra lag ger för blocket -T R = I α Om repet inte glider gäller att relationen mellan vinkel accelerationen och (den linjära) acceleration är (10-14) a = R α som insatt ger att – T = a I/R 2 som slutligen ger a = - g/(1 + I/mR 2 ) som är ekvation 11-10

42 Example 11-7 The Pulley Matters Bestäm T 2 och vagnens acceleration a

43 Example 11-7 The Pulley Matters (Om m = 0 gäller T 1 = T 2 ) M = 0,31 kg, m = 0,080 kg, r = 0,012 m, T 1 = 1,1 N Newtons andra lag ger vagnen T 2 = Ma Newtons andra lag ger för blocket rT 1 - r T 2 = I α Om repet inte glider gäller att relationen mellan vinkel accelerationen och (den linjära) acceleration är (10-14) a = r α eliminera α och ”kom ihåg” att I disk = mr 2 /2 rT 1 – rT 2 = mra/2 = mrT 2 /2M

44 Example 11-7 The Pulley Matters (fortsättning) rT 1 – rT 2 = mra/2 = mrT 2 /2M som omstuvat blir T 2 = T 1 /(1+ m/2M) = 1,1/(1 + 0,080/(2 0,31)) = {0,129} = 0,97N a = T 2 /M = 0,97 N/0,31 kg = 3,1 m/s 2 Märk att T 1 > T 2 så att blocket kommer att rotera moturs (som väntat)

45 11-6 Angular Momentum Using a bit of algebra (I = mr 2 och ω = v/r), we find for a particle moving in a circle of radius r,

46 Figure The angular momentum of circular motion

47 11-6 Angular Momentum For more general motion,

48 Exercise 11-3 Beräkna rörelsemängdsmomentet för a) en frisbee som väger 0,13 kg och som kan anses vara en homogen skiva med r = 7,5 cm och ω = 1,15 rad/s L = I ω = mr 2 /2 ω = 4, kgm 2 /s (Js) b) en person (m = 95,0 kg) som springer med v = 5,1 m/s i en cirkel med r = 25 m L = r p = 25 m 95,0 kg 5,1 m/s = 12 kJs

49 Conceptual Checkpoint 11–3 Angular Momentum? Har ett föremål som rör sig längs en rät linje alltid/ibland/aldrig ett rörelsemängdsmoment?

50 Figure Angular momentum in linear and circular motion

51 Example 11-8 Jump On

52 Example 11-8 Ett barn (m = 21,2 kg) springer med hastigheten 4,10 m/s mot en karusell enligt figuren. Beräkna barnets rörelsemängdsmoment, relativt karusellens centrum om r = 2,00 m. L = m v r cos45° = 123 kgm 2 /s (Js)

53 11-6 Angular Momentum Looking at the rate at which angular momentum changes,

54 Exercise I en lätt vind känner en väderkvarn ett konstant vridmoment på 255 Nm. Om vingarna först var i vila (det vill säga L i = 0), vad är deras rörelsemängdsmoment (L f ), 2,00 sekunder senare? ΔL = L f – L i = τ Δt = 255 Nm 2,00 s = 510 kgm 2 /s = L f

55 11-7 Conservation of Angular Momentum If the net external torque on a system is zero, the angular momentum is conserved. The most interesting consequences occur in systems that are able to change shape:

56 Example 11-9 Going for a Spin

57 Example 11-9 Beräkna vinkelhastigheten, som ursprungligen var 3,74 rad/s, för en student på en pianostol (med tröghetsmomentet 5,33 kgm 2 ) som sedan ändrar sitt tröghetsmomentet till 1,60 kgm 2 ? Rörelsemändsmomentet bevaras så det gäller L i = L f dvs L i = I i ω i = I f ω f = L f så att ω f = 5,33 kgm 2 3,74 rad/s / 1,60 kgm 2 = 12,5 rad/s

58 Photo 11-8 Hurricane Andrew

59 Photo 11-9 Crab Nebula Pulsar

60 Active Example 11-4 A Stellar Performance Find the Angular Speed Beräkna vinkelhastigheten, för en stjärna (pulsar) med radien R = 2,310 8 m, som ursprungligen var 2, rad/s, om stjärnan kollapsar till ett klot med radien 20,0 km. (Behandla stjärnan som ett homogent klot och anta att ingen massförlust sker vid kollapsen.) Rörelsemängdsmomentet bevaras så det gäller L i = L f dvs I i ω i = I f ω f Tröghetsmomentet för en homogen sfär är 2mR 2 /5 så ω f = ω i I i / I f = ω i (R i /R f ) 2 = 2, rad/s (1,15) = = 320 rad/s (50,5 varv/s) → T = 2π/ω ≈ 20 ms

61 Conceptual Checkpoint 11-4 Compaire Kinetic Energies En isprinsessa halverar sitt tröghetsmoment och dubblerar på detta sätt sin vinkelhastighet. Är då hennes slutliga rörelseenergi a) > b) = c) < jämfört med hennes ursprungliga rörelseenergi? [K i = I i ω i 2 /2 K f = I f ω f 2 /2]

62 11-7 Conservation of Angular Momentum As the moment of inertia decreases, the angular speed increases, so the angular momentum does not change. Angular momentum is also conserved in rotational collisions:

63 Rotational Collisions (p.341) Givet: I t ω 0 I r Rörelsemängdsmomentet bevaras (men inte energin, det är en inelastisk kollision) så det gäller L i = L f dvs I t ω 0 = I f ω f men I f = I t + I r ω f = I t ω 0 /(I t + I r )

64 Active Example 11-5 Conserve Angular Momentum: Find the Angular Speed

65 Active Example 11-5 Conserve Angular Momentum: Find the Angular Speed m = 34,0 kg, I k(arusell) = 512 kg m 2, r = 2,31 m När barnet hoppar upp på karusellen med v = 2,80 m/s börjar hela systemet rotera. Hur stort blir ω f ? Rörelsemängdsmomentet bevaras (men inte energin, det är en inelastisk kollision) så det gäller L i = rmv L f = (I k + mr 2 ) ω f ω f = mvr/(I k + mr 2 ) = 342,82,31/( ,312,31) = 0,317/s

66 11-8 Rotational Work and Power A torque acting through an angular displacement does work, just as a force acting through a distance does. The work-energy theorem applies as usual.

67 Figure Rotational work

68 11-8 Rotational Work and Power Power is the rate at which work is done, for rotational motion as well as for translational motion. Again, note the analogy to the linear form:

69 Exercise 11-5 (p.343) Vridmomentet för handtaget till en glassmaskin är 5,7 Nm. Hur mycket arbete uträttas i varje varv? Hur stor är effekten om varje varv tar 1,5 s? W = τΔθ = 5,7 Nm 2π (rad) = 36 J P = τ Δθ/Δt = 35,8 J/1,5 s = 24 W

70 11-9* The Vector Nature of Rotational Motion The direction of the angular velocity vector is along the axis of rotation. A right-hand rule gives the sign.

71 11-9* The Vector Nature of Rotational Motion A similar right-hand rule gives the direction of the torque.

72 11-9* The Vector Nature of Rotational Motion Conservation of angular momentum means that the total angular momentum around any axis must be constant. This is why gyroscopes are so stable.

73 Summary of Chapter 11 A force applied so as to cause an angular acceleration is said to exert a torque. Torque due to a tangential force: Torque in general: Newton’s second law for rotation: In order for an object to be in static equilibrium, the total force and the total torque acting on the object must be zero. An object balances when it is supported at its center of mass.

74 Summary of Chapter 11 In systems with both rotational and linear motion, Newton’s second law must be applied separately to each. Angular momentum: For tangential motion, In general, Newton’s second law: In systems with no external torque, angular momentum is conserved.

75 Summary of Chapter 11 Work done by a torque: Power: Rotational quantities are vectors that point along the axis of rotation, with the direction given by the right-hand rule.


Ladda ner ppt "© 2007 Pearson Prentice Hall This work is protected by United States copyright laws and is provided solely for the use of instructors in teaching their."

Liknande presentationer


Google-annonser