Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

Logikkurs. Logikens historia Aristoteles 384 - 322 f.Kr. atenare Organon (redskap) syllogismer (motsvarar predikatlogik)

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "Logikkurs. Logikens historia Aristoteles 384 - 322 f.Kr. atenare Organon (redskap) syllogismer (motsvarar predikatlogik)"— Presentationens avskrift:

1 Logikkurs

2 Logikens historia

3 Aristoteles f.Kr. atenare Organon (redskap) syllogismer (motsvarar predikatlogik)

4 Syllogism (deduktiv slutledning) Alla människor är dödliga. (premiss) Filosofer är människor. (premiss) Alltså, är filosofer dödlig. (slutsats)

5 Francis Bacon engelsk empiristisk filosof Nova Organon förespråkade induktion

6 Induktion (motsats: deduktion) Kråkan lägger ägg. (premiss) Bofinken lägger ägg. (premiss) Storken lägger ägg. (premiss) Alltså, lägger pingvinen ägg. (slutsats)

7 Kråkan kan flyga. (premiss) Bofinken kan flyga. (premiss) Storken kan flyga. (premiss) Alltså, kan pingvinen flyga. (slutsats)

8 Gottfried Wilhelm Leibnitz tysk rationalistisk filosof, matematiker försökte skapa en ”universalkalkyl” införde symboler

9 George Boole engelsk matematiker och filosof skapade logik grundad på matematik

10 Gottlob Frege tysk logiker försökte grunda matematiken på logik

11 George Cantor tysk matematiker grundade mängdläran

12 dödliga människor filosofer

13 Bertrand Russel engelsk filosof Principia Matematica (tillsammans med Whitehead) skapade typteorin

14 Symbolisk logik

15 Formella språk exakta språk symboler: t.ex. , , , ,  (viss) satslogik, predikatlogik, modallogik syntax (grammatik) semantik (betydelseteori)

16 Objektspråk och metaspråk objektspråk: t.ex. (en viss) satslogik metaspråk: t.ex. svenska tecken i metaspråket: , 

17 Satser och propositioner I formell logik är alla satser påstående satser. Med en proposition förstås ett påstående med ett informationsinnehåll. Ordet sats används som synonym till preposition.

18 Sanningsvärden sann falsk (osann) 1 0 Man talar även om sanningsfunktioner. Det finns flervärdeslogik som räknar med flera än två sanningsvärden.

19 Sanningsteori Vad betyder det att en sats är sann? Korrespondensteorin: En sats är sann om det av satsen uttryckta sakförhållandet råder (i den värld som satsen gäller). Intuitionistisk logik: En sats är sann om den är bevisbar.

20 Satslogik

21 Satslogikens alfabet  negation, inte konjunktion, och disjunktion, eller implikation, om… så (endast om) ekvivalens, om och endast om p, qatomära satser ( ) parenteser

22 Negation Satsen P är sann (i modellen M) omm ¬P inte är sann (i modellen M). Konjunktion Satsen P  Q är sann omm både P och Q är sanna. Disjunktion Satsen P  Q är sann omm minst en av satserna P och Q är sanna (d.v.s. antingen P eller Q är sann eller både P och Q är sanna). Implikation Satsen P  Q är sann omm Q är sann eller P inte är sann (eller både P och Q är sanna eller varken P eller Q är sanna). Ekvivalens Satsen P  Q är sann omm P och Q har samma sanningsvärde (d.v.s. både P och Q är sanna eller varken P eller Q är sanna).

23 Definierande sanningsvärdetabeller negationkonjunktion disjunktion implikation ekvivalens

24 Negation, ¬ p = Göran Persson är Finlands statsminister. ¬p = Det är inte fallet att Göran Persson är Finlands statsminister. = Göran Persson är inte Finlands statsminister. Men: Det är inte fallet att Göran Persson valdes år 2000 till Finlands president.  Göran Persson valdes inte år 2000 till Finlands president.

25 Satsen ”Sveriges president heter Göran Persson” är varken sann eller falsk, utan saknar mening (enligt vissa logiker). Lagen om det uteslutna tredje: P  ¬P Satsen P är antingen sann eller falsk.

26 Konjunktion,  p = Kalle studerar. q = Ville studerar. p  q = Kalle och Ville studerar. p  q = Kalle studerar, men Ville studerar inte. Men: Kalle är gift och Ville är gift.  Kalle och Ville är gifta.

27 Disjunktion,  p = Kalle studerar filosofi. q = Kalle studerar matematik. p  q = Kalle studerar filosofi eller matematik. Men: Om p = ”I priset ingår kaffe” och q = ”I priset ingår glass, så ”I priset ingår kaffe eller glass” = p  q  p  q.

28 Implikation,  Det blixtrar.  Det mullrar. = Om det blixtrar, så mullrar det. = Det blixtrar endast om det mullrar. = Endast om det det mullrar blixtrar det. Det mullrar, om det blixtrar. =

29 Det blixtrar.  Det mullrar. = Det är ett tillräckligt villkor att det blixtrar, för att det skall mullra. = Det är ett nödvändigt villkor att det mullrar för att det skall blixtra.

30 Ekvivalens,  Det blixtrar.  Det mullrar. = (Det blixtrar.  Det mullrar.)  (Det mullrar.  Det blixtrar.) = (Det blixtrar endast om det mullrar.)  (Det blixtrar om det mullrar.) = (Det blixtrar om det mullrar.)  (Det blixtrar endast om det mullrar.) = Det blixtrar om och endast om det mullrar.

31 Det blixtrar.  Det mullrar. = Det är ett nödvändigt och tillräckligt villkor att det blixtrar för att det skall mullra.

32 Alternativa grundkonnektiv P  Q  df (P  Q) P  Q  df (P  Q) P  Q  df (P  Q)  (P  Q) P  Q  df (P  Q) P  Q  df P  Q P  Q  df (P  Q)  (P  Q)

33 Välbildningsregler Om P och Q är välbildade satser utgör följande teckenföljder välbildade satser: (P) (P) (P  Q) (P  Q) (P  Q) (P  Q)

34 Kedjekonjunktioner (P  (Q  R))  ((P  Q)  R)) Kan visas med sanningsvärdetabell! (P  (Q  R))  df (P  Q  R)

35 Kedjedisjunktioner (P  (Q  R))  ((P  Q)  R) Kan visas med sanningsvärdetabell! (P  (Q  R))  df (P  Q  R)

36 Regler för utlämnande av parenteser Parenteser kring en fristående sats kan utelämnas. Parenteser kring en negation kan utelämnas. Parenteser kring disjunktioner och konjunktioner kan utelämnas då de förekommer som led i en implikation eller ekvivalens.

37 Tautologier (logiska sanningar) Tautologier är sanna i alla världar/ ”tolkningar”. Det deskriptiva innehållet hos en tautologi är tomt. Negationen av en tautologi är en kontradiktion. Tautologier kan med en gemensam symbol betecknas, medan kontradiktioner betecknas.

38 Tautologier (P  Q)  R  (P  R)  (Q  R) distributiva lagen för konjunktion (P  Q)  R  (P  R)  (Q  R) distributiva lagen för disjunktion P  Q  Q  P kommutativa lagen för konjunktion P  Q  Q  P kommutativa lagen för disjunktion P  P identitetslagen P  P lagen för dubbel negation P  P det uteslutna tredjes lag  (P  P) den uteslutna kontradiktionens lag  (P  Q)  P  Q de Morgans lag  (P  Q)  P  Q de Morgans lag (P  Q)  (Q  P) transpositionslagen (P  Q)  P  Q modus (ponendo) ponens (P  Q)  Q P modus tollendo tollens (P  Q)  P  Q modus tollendo ponens

39 Solen skiner eller solen skiner inte. Solen skiner. Solen skiner inte. Solen skiner och solen skiner inte. kontingenta/ syntetiska satser kontradiktioner (logiskt falska satser) tautologier (logiskt sanna/ analytiska satser) mängden av satisfierbara satser = mängden av tautologier  mängden av kontingenta satser mängden av falsifierbara satser = mängden av kontradiktioner  mängden av kontingenta satser mängden av kontingenta satser = mängden av satisfierbara satser  mängden av falsifierbara satser mängden av tautologier = mängden av satisfierbara satser - mängden av kontingenta satser mängden av kontradiktioner = mängden av falsifierbara satser - mängden av kontingenta satser

40 Att satsen P är en tautologi kan skrivas P. Om satsen P  Q är en tautologi, följer Q logiskt (semantiskt) ur P. Detta kan skrivas P Q. Man säger här även att P logiskt implicerar Q, vilket kan skrivas P  Q. Logiska sanningar

41 Om den atomära satsen p ingår i en tautologi och man konsekvent byter ut p mot en godtycklig sats Q får man en ny tautologi. När man i detta fall byter ut p mot Q säger man att man substituerar p med Q. Från tautologin "p  p" får vi med hjälp av substitution (¬p för p) den nya tautologin " ¬p  ¬p". Substitution

42 Om R följer från Q och Q följer från P, så följer R från P. "Q  R" följer ur P omm R följer från P och Q. Detta kan med symboler skrivas P Q  R omm P, Q R. Mera allmänt gäller att P 1, P 2,... P n-2, P n-1 P n omm P 1, P 2,... P n-2 P n-1  P n. Logisk följd

43 Q följer från P omm "P  Q" är en tautologi, dvs P Q omm P  Q. Specialfall Att en sats är tautolog betyder att den följer från en tom satsmängd eller vilken sats som helst.

44 Axiomatiska system Hilberts bevisteori

45 Logiska slutledningar Det naturliga slutledningssystemet

46 Fullständighet Sundhet och fullständighet

47 Predikatlogik

48 Syllogism Alla människor är dödliga. Alla filosofer är människor. Alltså, är alla filosofer dödlig.

49 Syllogism Ingen människa är odödlig. Alla filosofer är människor. Alltså, är ingen filosof odödlig.

50 Predikatlogikens alfabet  negation, inte  konjunktion, och  disjunktion, eller  implikation, om… så (endast om)  ekvivalens, om och endast om identitet  allkvantifikator existenskvantifikator x, y, z,... variabler a, b, c,... konstanter p, p 1,... predikatsymboler ( ) parenteser, komma

51 p = Kalle studerar. q = Ville studerar. p  q = Kalle och Ville studerar. Satslogik Predikatlogik p(x)= x studerar a = Kalle b = Ville p(a)  p(b) = Kalle och Ville studerar.

52 p = Kalle studerar. q = Kalle jobbar. p  q = Kalle studerar och jobbar. Satslogik Predikatlogik p(x)= x studerar q(x) = x jobbar a = Kalle p(a)  q(a) = Kalle studerar och jobbar.

53 Predikatlogik p(x)= x studerar xp(x) = Alla studerar. (För alla x gäller att x studerar.) xp(x) = Någon studerar. (Det existerar ett x sådant att x studerar.)

54 Allkvantifikator Satsen xp(x) är sann omm p(a) är sann för alla a  U. Existenskvantifikator Satsen xp(x) är sann omm p(a) är sann för något (minst ett) a  U.

55 I fall antalet individer i ett i ett bestämt universum U är ändligt gäller det att xp(x)  p(c 1 )  p(c 2 ) ...  p(c n ) och xp(x)  p(c 1 )  p(c 2 ) ...  p(c n ), där n är antalet element i universumet U.

56 (P  Q)  P  Q (P  Q)  ( P  Q) P  Q  ( P  Q) De Morgans lag

57 (P  Q)  P  Q (P  Q)  ( P  Q) P  Q  ( P  Q) P  (Q R)  ( P  (Q R)) P  Q R  ( P  (Q  R)) P  Q R  ( P  Q  R) P 1  P 2 ...  P n   (P 1  P 2 ...  P n )

58 p 1  p 2 ...  p n  (p 1  p 2 ...  p n ) Satslogik Predikatlogik p(c 1 )  p(c 2 ) ...  p(c n )  (p(c 1 )  p(c 2 ) ...  p(c n ))

59 xp(x)  df xp(x) Sambandet mellan all- och existenskvantorn

60 xp(x)  xp(x) xp(x)  xp(x) xp(x)  xp(x) xp(x)  xp(x) Flera samband

61 p(x,y) = x älskar y a = Göran b = Anitra p(a,b) = Göran älskar Anitra. p(b,a) = Anitra älskar Göran. p(a,a) = Göran älskar sig själv. xp(x,a) = Alla älskar Göran. xp(a,x) = Göran älskar alla. xp(x,b) = Någon älskar Anitra. Relationer

62 p(x) = x är filosof q(x) = x är människa xp(x) = Alla är filosofer. xp(x) = Någon är filosof. x(p(x)  q(x)) = Någon filosof är människa. x(p(x)  q(x)) = Alla filosofer är människor. All- och existenssatser

63 x(p(x)  q(x))  x(p(x)  q(x))  x(p(x)  q(x))  x(p(x)  q(x))  x(p(x)  q(x)) Flera samband mellan all- och existenskvantorn

64 Logiska slutledningar i predikatlogiken Naturliga deduktion

65 Mängdlära

66 Union x  A  B  x  A  x  B A  B = {x|x  A  x  B} Snitt x  A  B  x  A  x  B A  B = {x|x  A  x  B} Komplement x  -A  x  A A = {x|x  A} Differans x  A - B  x  A   x  B A - B = {x|x  A  x  B } Nollmängd x  Ø   x = x Ø = {x|  x = x } Delmängd A  B  x(x  A  x  B)

67 x  -(A  B)  x  A  B   (x  A  x  B)  x  A  x  B  x  -A  x  -B  x  -A  -B De Morgan

68 P = mängden av filosofer = {x | p(x)} Q = mängden av människor = {x | q(x)} p(x) = x är filosof q(x) = x är människa a är filosof = p(a) = a  P a är människa = q(a) = a  Q Alla filosofer är människor. = x(p(x)  q(x)) = P  Q

69 Modallogik

70 Det är nödvändigt att satsen P är sann. = NP Det är möjligt att satsen P är sann. = MP MP  NP NP  MP MP  NP NP  MP NP  MP MP  NP

71 P  MP NP  P


Ladda ner ppt "Logikkurs. Logikens historia Aristoteles 384 - 322 f.Kr. atenare Organon (redskap) syllogismer (motsvarar predikatlogik)"

Liknande presentationer


Google-annonser