Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

William Sandqvist Booles Algebra George Boole matematiker (1815-1864) Claude Shannon matematiker/elektrotekniker (1916 –2001) Genom att.

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "William Sandqvist Booles Algebra George Boole matematiker (1815-1864) Claude Shannon matematiker/elektrotekniker (1916 –2001) Genom att."— Presentationens avskrift:

1 William Sandqvist Booles Algebra George Boole matematiker ( ) Claude Shannon matematiker/elektrotekniker (1916 –2001) Genom att representera logiska uttryck på matematisk form, där sammanfognings- orden OR och AND motsvarade ett slags addition och multiplikation, blev det möjligt att med en algebra undersöka om kompli- cerade logiska utsagor och resonemang, i slutändan var sanna eller falska "dammade" Claude Shannon av algebran och använde den till elektriska kontaktnät. Sedan dess är Booles algebra det huvudsakliga verktyget för all digital konstruktion.

2 William Sandqvist AND OR NOT Algebran bygger på ett talsystem med bara två tal, 1 och 0. Inom logiken motsvarar dessa tal sant/falskt, och för kontaktnät motsvarar de sluten/bruten kontakt. Logikens sammanfogningsord OR och AND motsvarar parallellkoppling och serie- koppling i kontaktnätet. Den boolska algebran innehåller också en inversoperator för logikens sammanfogningsord NOT. För inversoperatorn gäller: Två slutande kontakter i serie ger AND-funktion. För att få en sluten krets krävs det att de båda seriekopplade kontakterna a och b vara slutna. Två parallellkopplade kontakter ger OR-funktion, eftersom det räcker med att en av dem är sluten för att hela kretsen ska vara sluten.

3 William Sandqvist Dubbel invertering … Nisse hålls fången hos en grym sultan som trots sin grymhet bestämmer sig för att ge Nisse en chans. Han förs till ett rum med två dörrar, där en leder till friheten och en till lejonen. I rummet finns en fångvaktare, som antingen är sådan att han alltid ljuger eller är sådan att han alltid talar sanning. Fångvaktaren vet vilken dörr som leder till friheten. Nisse får ställa en fråga. Vad ska han fråga? Nisse ska ställa frågan: Vilken dörr skulle Du peka ut om Jag frågade dig vilken dörr som leder till friheten? Om Nisse ställer frågan till lögnaren så är svaret på den indirekta frågan vilken dörr som leder till friheten "lejondörren" eftersom lögnaren ljuger, och den dörr som pekas ut blir "frihetsdörren" eftersom lögnaren sin vana trogen ljuger igen. Den utpekade dörren är således säker. Om Nisse ställer frågan till sanningssägaren så är naturligtvis även då den utpekade dörren säker. Genom att frågan är så konstruerad att den tvingar lögnaren att använda "sin" NOT-funktion nästlat två gånger, NOT(NOT(x)) = x, upphävs dess verkan. Tack! Per Persson

4 William Sandqvist Räknelagar Logisk addition "+", OR, och logisk multiplikation "  ", AND, följer i stort sätt de vanliga normala algebraiska distributiva, kommutativa och associativa lagarna (med ett "udda" undantag).

5 William Sandqvist Förenklingsregler och teorem

6 William Sandqvist Exempel: De Morgans lag De Morgans lag visas enklast med några exempel: 1) 2)

7 William Sandqvist Grundläggande funktioner

8 William Sandqvist Sammansatta funktioner

9 William Sandqvist Amerikanska symboler Microchip, använder amerikanska grindsymboler i manualerna …

10 William Sandqvist Så här beskriver Microchip interrupt-mekanismen

11 William Sandqvist Hur öppnar man kodlåset? Vilka knappar ska man sam- tidigt trycka på för att tända lampan? ( = öppna kodlåset) Svar: d och h, men samtidigt måste man undvika att trycka på a b c e f g i och k ! En produktterm där alla variabler ingår kallas för en minterm.

12 William Sandqvist Logiknät SP-form Alla logiska funktioner kan realiseras med hjälp av grindtyperna AND och OR kombinerade i två steg. Vi förutsätter här att ingångs-variablerna även finns i inverterad form, om inte så behöver man naturligtvis även inverterare NOT till detta. Man kan realisera grindnätet dir- ekt ur sanningstabellen. Varje "1" i tabellen är en minterm. Funktionen blir summan av dessa mintermer. Man säger att funk- tionen är uttryckt på SP-form ( Summa av Produkter ). Men, det kan finnas mycket enklare grindnät med färre grindar som gör samma arbete.

13 William Sandqvist Logiknät PS-form Om således funktionen ska vara "0" för en viss variabelkombination (a,b) tex. (0,0) så bildar man summan ( a + b ). Den summan kan ju bara bli "0" för kombinationen (0,0). En sådan summa kallas för en maxterm. Funktionen uttrycks som en produkt av alla sådana maxtermer. Varje maxterm bidrar med en 0:a från sannings- tabellen. Funktionen sägs vara uttryckt på PS-form ( Produkt av Summor ). Alternativt kan man inrikta sig på sanningstabellens 0:or. Om ett grindnät återger funktionens 0:or korrekt så är ju även 1:orna rätt!

14 William Sandqvist  och  SP och PS-formerna brukar förenklat uttryckas genom en uppräkning av de ingående maxtermernas/mintermernas ordningsnummer: f(a,b) =  (1,2) f(a,b) =  (0,3)

15 William Sandqvist Förenkling med Booles algebra Funktionens SP-form har tre mintermer svarande mot sannings- tabellens tre ettor. Med ”koncensuslagen” kan en term a läggas till, som sedan efter vidare förenkling leder till uttrycket : f = a + b ( dvs. OR-funktionen ) Samma resultat hade man fått direkt om man använt PS-formen med maxtermen a + b.

16 William Sandqvist Användning av De Morgans lag Om man utrycker sanningstabellens ensamma 0:a som en minterm så har man gjort helt fel. Om man därefter inverterar mintermen så blir följdriktigt det helt rätt! Med De Morgans lag kan man till sist förenkla det inverterade uttrycket.

17 William Sandqvist Dioden

18 William Sandqvist Diod: OR-grind

19 William Sandqvist Diod: AND-grind

20 William Sandqvist Transistorn

21 William Sandqvist Transistor inverterare

22 William Sandqvist Övningsuppgifter Ange namn och utsignal 1/0 för följande sex grindtyper när insignalerna är de som visas i figuren. AND 0 OR 1 XOR 0 NAND 0 NOR 1 XNOR 1

23 William Sandqvist Övningsuppgifter Ange insignalens värde 1/0 på ?-ingången för följande grindtyper så att utsignalen blir den som angivits i figuren.

24 William Sandqvist Övningsuppgifter En logisk funktion har följande sanningstabell. Ange funktionen på SP- normalform (summa av produkter).

25 William Sandqvist Övningsuppgifter En logisk funktion har följande sanningstabell. Ange funktionen på PS- normalform (produkt av summor).

26 William Sandqvist Laboration diodgrindar Med ”funktionsgeneratorn” ställer man in vilka mintermer som ska ingå i funktionen. På resten av kopplingsdäcket bygger man själv upp funktionen med diodgrindarna. Om lysdioderna uppför sig lika för alla ingångskombinationer så har man lyckats!

27 William Sandqvist De 16 funktionerna av två variabler De fins 16 funktioner av två variabler. En del är välkända, andra okända. Med Booles algebra kan man hitta förenklingar, men för två variabler kan man i allmänhet själv direkt se vilka förenklingar som kan göras.


Ladda ner ppt "William Sandqvist Booles Algebra George Boole matematiker (1815-1864) Claude Shannon matematiker/elektrotekniker (1916 –2001) Genom att."

Liknande presentationer


Google-annonser