Vacker och spännande matematik

En presentation över ämnet: "Vacker och spännande matematik"— Presentationens avskrift:

1 Vacker och spännande matematik
Lars-Erik Persson Luleå Tekniska Universitet Sonya Kovalevsky dagarna Stockholm 19 November 2011

2 Den Gyllene Kunskapstriangeln
Själv-förtroende Intresse

3 Subtraktion

4 Den magiska attraktorn
4 7 1 6 - 10 7614 6174 4 7 1 6 8 5 3 2 - 10 2358 6174

5 Den magiska attraktorn
6 7 1 4 2 - 10 6642 4 7 1 6 - 10 6174

6 Den magiska attraktorn
7218 3 4 7 8 2 1 - 10 6 9 3 7 4 - 10 4 6 2 9 3 - 10 6 7 1 4 2 - 10 4 7 1 6 - 10 6174

7 Den magiska attraktorn
Välj nu ditt eget favorittal (ej alla siffror lika) och räkna på! Gäller detta alltid? Ja, man kommer alltid till det magiska talet 6174 efter högst 7 upprepningar! Vad händer om du gör samma sak med 3-siffriga eller 5 siffriga tal?

8 Den magiska attraktorn - historik
6174 Talet kallas för Kaprekars tal efter den indiska matematikern D.R. Kaprekar ( ), som upptäckte egenskaperna hos talet år 1949.

9 Fibonaccis kaninproblem division
… = Fibonaccitalen

10 Pentagon

11 Gyllene snittet hos människan

12 En gyllene rektangel Höjden är sidan och basen diagonalen i en
Pentagon, dvs. proportionerna är det gyllene snittet

13 a b Gyllene snittet: sätt

14 Att förstå på flera olika sätt (flera sinnen) väcker intresse…

15 Räkneregler a b ba aa=a2 ab b2

16 ”Snickartriangeln” 5 4 3 (9+16=25)

17 Pythagoras sats c a b

18 Finns det fler ”Snickartrianglar”?
Ja tex: a = 5, b = 12, c = 13 = ( = 169) men även a = 99, b = 20, c = 101 ( = 10201)

19 Finns det fler ”Snickartrianglar”?
I själva verket finns det oändligt många snickartrianglar tex. alla tal av typen: a = m2 – n2 b = 2mn m > n c = m2 + n n = 1,2,… är snickartrianglar eftersom a2 + b2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2 = m4 – 2m2n2 + n4 + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 = c2 Exempel: m = 2, n = 1 ger a = 3, b = 4, c = 5 m = 3, n = 2 ger a = 5, b = 12, c = 13 m = 4, n = 3 ger a = 7, b = 24, c = 25 m = 10, n = 1 ger a = 99, b = 20, c = 101

20 Pythagoras sats Pythagoreerna ett hemligt sällskap. 525 fkr utforskade talens mystik Anekdoten säger att en av medlemmarna Hippasos dränktes när han kom på att roten ur två var irrationellt alltså inte på formen p\q där p,q är heltal

21 Ett ”vackert” bevis Pythagoras sats: a2 + b2 = c2
”Ytan av stora Kvadraten” (a + b)2 = c2 + 4(ab)/2 a2 + 2ab + b2 = c2 +2ab a2 + b2 = c2

22 Fermats gåta Finns det heltal a, b, c som uppfyller a3 + b3 = c3 ?
Svar: NEJ! Finns det heltal a, b, c som uppfyller a4 + b4 = c4 ? Svar: NEJ! osv….

23 Fermats gåta a, b, c som uppfyller an+ bn = cn
P. Fermat påstod för mer än 350 år sedan att han bevisat att det inte finns några heltal a, b, c som uppfyller an+ bn = cn för n = 3,4,5..osv Påståendet var sant men kunde bevisas först 1995 av A. Wiles

24 Von Kochs snöflingekurva
Ett exempel på en (fraktal) figur som har oändlig omkrets men ändlig innesluten area. Area på snöflingan är 8/5 gånger så stor som bastriangelns area. Längden av kurvan efter n steg = (4/3)n

25 Fler fraktaler…. Juliamängder och Mandelbrotmängd
Mandelbrotmängden kan ses som ett register där varje punkt ger en Juliamängd.

26 Fler fraktaler…. Exempel på Juliamängder = två sidor i min bok med oändligt många sidor

27 En resa in i Seahorse Valley…

28 Den Gyllene Kunskapstriangeln
Intresse Själv-förtroende Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen!

29 Vacker och spännande matematik
Lars-Erik Persson Luleå Tekniska Universitet

30 Lösning av spännande problem väcker intresse…

31 Födelsedagsproblemet
Hur stor är sannolikheten för att minst två personer i en grupp med n personer har födelsedag samma dag? 31

32 Födelsedagsproblemet
n sannolikhet 23 50% 30 70% 41 90% 47 95% 57 99% För sannolikhet 1 krävs minst 367 personer! 32

33 Schackbrädesproblemet
Schackbrädet har 64-2 = 62 rutor Kan vi täcka alla rutor med 31 dominobrickor ? Svar: Nej! (Ledning: 32 svarta 30 vita rutor, en dominobricka täcker en svart och en vit…) Schackbräde utan två hörn 33

34 Snabbräkning på Gauss vis
C.F. Gauss ( ) fick följande problem som 10-åring 34

35 Snabbräkning på Gauss vis
Gauss blixtsnabba lösning… (svar 5050) 1 + 2 3 … 100 99 98 101 (100·101)/2 = 5050 35

36 Spännande exempel från modern matematik väcker intresse…