Spektrala Transformer

En presentation över ämnet: "Spektrala Transformer"— Presentationens avskrift:

1 Spektrala Transformer
Fouriertransformer DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

2 Fourier Gif mig en wågform och jag skola skrifva den som en summa af sinuswågor ! Jean-Baptiste Fourier DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

3 DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow
Fouriertransformen Transformerar kontinuerliga signaler från tids- till frekvensdomän = skriver om dem som en summa av sinusar… … och tillbaks från frekvens till tid forward inverse DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

4 DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow
Fourierserier Specialfall: då f(t) är periodisk blir ω diskret – vi samplar frekvensaxeln: ω = kω0 där ω0=2π/T DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

5 DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow
Fourierserier Om f(t) är reell gäller att DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

6 Fourierseriens egenskaper
Beloppet |ck| ger signalens spektrum Spektrumlutningen ger ett mått på jämnheten i signalen för fyrkantvåg avtar spektrum med 1/n för triangelvåg avtar spektrum med 1/n2 Integrering i tidsdomänen ökar spektrumlutningen, derivering minskar den Diskontinuiteter i insignalen orsakar ”ringningar” (Gibbs fenomen) 2f1120 Spektrala Transformer för Media • Jonas Beskow

7 Transformer i Fourier-familjen
Tidsdomän Frekvensdomän Transform Periodisk Kontinuerlig Diskret Aperiodisk Fourierserie DFT (Diskret fouriertransform) Fouriertransform Z-transform DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

8 DFT – Diskret Fouriertransform
Fouriertransform av verkliga, samplade signaler – inte bara matte: Spektral analys Spektrum & Spektrogram Filtrering & bildbehandling Snabb faltning av långa sekvenser/stora filterkärnor Kodning Spektralbaserad bildkodning (typ JPEG) Ljudkodning (typ MP3) Talteknologi Särdragsextraktion för taligenkänning mm Audio/musik Pitch-shift/time-stretch Och så vidare… DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

9 DFT - domäner DFT transformerar signaler mellan
diskret tidsdomän och diskret frekvensdomän N punkter i tidsdomänen ger N punkter i frekvensdomänen DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

10 DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow
DFT - domäner Tidsdomän N=8 Frekvensdomän n n: 1 3 4 5 6 7 2 1 3 4 5 6 7 2 ω: … π … π/4 π/2 3π/4 π -3π/4 -π/2 -π/4 ω = k2π/N k k: DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

11 DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow
DFT - basvektorer Basvektorerna är N st. phasors 1 3 4 5 6 7 2 π/4 π/2 3π/4 π -3π/4 -π/2 -π/4 ω = k2π/N k DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

12 DFT Tid → Frekvens (DFT) Frekvens → Tid (Invers DFT, IDFT)
DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

13 DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow
DFT som en matris DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

14 DFT som en matris Tid → Frekvens (DFT)
Frekvens → Tid (Invers DFT, IDFT) DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

15 DFT för reella sekvenser
Om x(n) är reell blir X(k) symmetrisk kring N/2: X(N-k) = X(k)* DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

16 Några DFT-transformpar: impulser
DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow ur Steven W. Smith ”Digital Signal Processing”

17 Några DFT-transformpar: fyrkantpulser
DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

18 Några DFT-transformpar: pulser
DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

19 Några DFT-transformpar: gauss-funktioner
DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

20 Ett praktiskt problem…
Vad innebär det att tidsdoänen blir cirkulär? Diskontinuiteter - påverkar spektrum! sidolober DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

21 DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow
Lösning: fönstring Signalen multipliceras med ett fönster som går mot noll i intervallets ändar! Undertrycker sidolober Något försämrad upplösning i frekvensled DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

22 FFT – Fast Fourier Transform
FFT är en effektiv algoritm för att beräkna DFT FFT är helt avgörande för att många applikationer av DFT ska vara praktiskt möjliga! FFT fungerar genom att rekursivt dela upp problemet i mindre problem, s.k. ”söndra och härska” (divide-and-conquer)-metodik DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

23 DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow
Beräkningshastighet Antal multiplikationer: DFT: ~N2 FFT: ~N log(N) N ggr förbättring N2 / NlogN 64 15.3 256 46.1 1024 147.5 4096 492.1 DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

24 DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow
DFT/IDFT Kan vi snabba upp beräkningen av IDFT också? Ja! IDFT{X} = DFT{X*}/N FFT kan användas även för invers DFT DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

25 DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow
Sammanfattning Fouriertransformen uttrycker icke-periodiska signaler som kontinuerliga frekvensfunktioner En Fourierserie uttrycker periodiska signaler som en summa av diskreta frekvenskomponenter DFT transformerar mellan diskret tids-domän och diskret frekvensdomän FFT är en algoritm för att beräkna DFT FFT är fundamental i många DSP-tillämpningar DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow