Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 5B1118 Diskret matematik Tionde föreläsningen Bipartita grafer.

En presentation över ämnet: "Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 5B1118 Diskret matematik Tionde föreläsningen Bipartita grafer."— Presentationens avskrift:

1 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 5B1118 Diskret matematik Tionde föreläsningen Bipartita grafer

2 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Bipartita grafer 4 En bipartit graf är – En graf som kan hörnfärgas med tv ₢ färger. – En graf utan cykler av udda längd.

3 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Relationer 4 En bipartit graf kan ocks ₢ ses som en relation mellan tv ₢ mängder X och Y, dvs en delmängd av XDY. Y X

4 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Kompletta bipartita grafer 4 En bipartit graf är komplett om alla hörn i X har en kant till alla hörn i Y. Vi skriver K m,n om |X|=m och |Y|=n. Y X

5 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Kantfärgning 4 En kantfärgning är ett sätt att färga kanterna s ₢ att kanter med ett gemen- samt hörn har olika färg.

6 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Kantfärgning av bipartita grafer  Sats. En bipartit graf kan kantfärgas med k färger om och endast om  (x)  k för alla hörn x.

7 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Latinska kvadrater 4 Sats. Varje latinsk rektangel kan fyllas p ₢ till en latinsk kvadrat.

8 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Konstruktion 4 Till en latinsk rektangel ordnar vi en kantfärgad bipartit graf. 1 2 3 4 5 A B C D E

9 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Fortsatt konstruktion 4 Vi tar sedan komplementet till denna bipartita graf dvs de kanter som inte finns med. 1 2 3 4 5 A B C D E 1 2 3 4 5 A B C D E

10 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Och fortsatt 4 Komplementet kan kantfärgas med tv ₢ färger eftersom hörnen har valens tv ₢. 1 2 3 4 5 A B C D E

11 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Färdigt! 4 Till slut kan vi sätta ihop det till en latinsk kvadrat.

12 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Matchningar 4 En matchning i en graf är en mängd av disjunkta kanter.

13 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Maximala matchningar 4 En matchning är maximal om det inte finns n ₢ gon matchning med fler kanter.

14 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Fullständiga matchningar 4 En matchning M i en bipartit graf är fullständig om |M|=|X| eller |M|=|Y|.

15 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1118 Diskret matematik 27 november 2001 Halls kriterium  Sats. Om |X|R|Y| finns det en fullständig matchning om och endast om |J(A)|S|A| för alla AaX, där J(A)={ ygY | xgA och x y }