FK2002,FK2004 Föreläsning 2.

En presentation över ämnet: "FK2002,FK2004 Föreläsning 2."— Presentationens avskrift:

1 FK2002,FK2004 Föreläsning 2

2 Föreläsning 2 Grupperade data och histogram Gränsvärdesfunktioner
Centrala gränsvärdessatsen Normalfördelningen Tolkningen av statistiska ekvationer Att utföra experiment Denna föreläsning svarar mot: kap .5 (Taylor) + ytterligare bakgrund info i kap (Taylor)

3 Gammal tentafråga FK

4 Presentation av data Den mest primitiva formen av en mängd mätdata är en oordnad lista som blir något mer överskådlig om vi ordnar mätvärdena i storlek Härifrån är steget inte långt till en frekvenstabell xk Mk rk där Mk är mängden mätdata med värdet xk och rk=Mk/n är den relativa frekvensen där

5 Presentation av data Utfallsrummet är heltalen 1-9 - diskreta data
Kan presenteras i en tabell eller stapeldiagram Relativ frekvens

6 Grupperade data Kom ihåg vårt ”ljushastigetsexperiment” Detektor foton
partikelstrål partikelstrål X Anta att detektorn består av 20 identiska mini-detektorer (celler) som ger oberoende mätningar av hastigheten v Detektor

7 Grupperade data från cellerna
Intervall/ms-1 Intervallmitt /ms-1 Frekvens 0.3 5 0.9 2 1.5 2.1 2.7 3.3 3.9 4.5 5.1 5.7 7 Medelvärde = 3.2 s = 2.4 x108 ms-1 Antalet mätningar inom ett intervall v x 108 ms-1 Kontinuerliga data - kan representeras i en tabell eller histogram med diskreta intervall.

8 Andra mätningar v x 108 ms-1 v x 108 ms-1
Medelvärde = 2.81 s = 2.5 Medelvärde = 2.41 s = 2.2 x108 ms-1 x108 ms-1 Antalet mätningar inom ett intervall Antalet mätningar inom ett intervall v x 108 ms-1 v x 108 ms-1 Medelvärdet av 20 cellmätningnar beräknas för att producera en mätning av v .

9 Cellmätningar med en stor mängd data
Medelvärde = 2.95 s = 2.3 x108 ms-1 Antalet mätningar inom ett intervall v x 108 ms-1

10 Sannolikhetsfördelning
v x 108 ms-1

11 Fråga Normera fördelningen (cellmätningar) nedan så att den blir en sannolikhetsfördelning f(x) . Anta att histogrammet består av datapunkter a v x 108 ms-1

12 a v x 108 ms-1 f 1/30 1/60 v x 108 ms-1

13 Sannolikhetsfördelning
Gränsvärdesfunktion v x 108 ms-1

14 En jämförelse av cellmätningar och detektormätningar
cells Medelvärde = 2.95 s = 1.0 x108 ms-1 Antalet mätningar inom ett intervall Antalet mätningar inom ett intervall v x 108 ms-1 v x 108 ms-1 Fördelning av mätningar av dektektorn Fördelning av mätningar av cellerna

15 Vad är det som har hänt ? v x 108 ms-1
En mätning av v av detektorn motsvarar en slumpmässig sampling av 20 datapunkter från denna fördelning. T.ex. Medelvärdet av dessa punkter är detektorns mätning av v. Fördelningen av cellmätningar och fördelningen av medelvärdet av cellmätningar är annorlunda!! Antalet mätningar inom ett intervall Antalet mätningar inom ett intervall Antalet mätningar inom ett intervall v x 108 ms-1 v x 108 ms-1 v x 108 ms-1 Obs! Ingen cell skulle ge så konstiga resultat i verkilgheten – denna fördelning används här för att illustrera en poäng.

16 Fördelningen av cellmedelvärden
s = 1.0 x108 ms-1 Fördelning av medvärdet av 20 cellmätningar v x 108 ms-1

17 Centrala gränsvärdessatsen
Om man addera samman flera slumpmässiga variabler med en och samma sannolikhetsfördelning kommer summan gå mot en special gränsvärdesfunktion: Normalfördelningen. Detta gäller oberoende av hur fördelningen ser ut för de termer som ingår i summan!!

18 Ett annat exempel på den centrala gränsvärdessatsen
Börja med en icke-normalfördelning. Beräkna medelvärdet av 2,3,4,8,16 och 32 punkter som valdes ut slumpmässigt från den icke-normalfördelningen. Medelvärdetsfördelning blir en normalfördelning

19 Ett annat exempel på den centrala gränsvärdessatsen
Börja med en icke-normalfördelning. Beräkna medelvärdet av 2,3,4,8,16 och 32 punkter som valdes ut slumpmässigt från den ickenormalfördelningen. Medelvärdetsfördelning blir en normalfördelning

20 En normalfördelning m-s m+s m x

21 Normalfördelningen f(x) x

22 Tolkningen av normalfördelningen
Tolkning av normalfördelningen som en sannolikhetsfördelning. Utfallet av en mätning ges med en viss sannolikhet.

23

24 Tillbaka till vårt experiment
s v x 108 ms-1

25 Sammanfattning av några viktiga ekvationer

26 Fråga

27 Gammal tentafråga FK 43 47 51 38 t/ms

28 Sammanfattning -1 Data kan representeras i en tabell eller ett stapeldiagramm (diskreta data) eller histogram (kontinuerliga data i diskreta intervall) Tabeller,stapeldiagram och histogram kan användas för att visa antalet mätningar eller sannolikhetsfördelningar. v x 108 ms-1

29 Sammanfattning -2 Med hög statistik närmar histogram en gränsvärdesfunktion Om man addera samman flera slumpmässiga variabler med en och samma sannolikhetsfördelning kommer summan gå mot en special gränsvärdesfunktion: Normalfördelningen. Osäkerheten i en individuell mätning av en kvantitet = s (standardavvikelsen av kvantitetens fördelning) f Gränsvärdesfunktion m-s m+s m x v x 108 ms-1

30 Att utför experiment och skriva vetenskapligt
See också : Skriva fysik : Och Laborationsmanual

31 Planering Förberedelser Genomförandet Vad är det vi vill göra ?
Förstå den underliggande teorin Genomförandet Tänk igenom mätningarna Kalibrering av instrument Systematiska effekter

32 Rapporten Du måste skriva ner noga detaljer för att tillåta en annan experimentalist att upprepa dina resultat.

33 Exempel - figur

34 Exempel - tabell

35 Exempel - tabel Glöm ej enheter på alla kvantiteter och grafer !!

36 Gamla tentafrågor FK