732G22 Grunder i statistisk metodik

En presentation över ämnet: "732G22 Grunder i statistisk metodik"— Presentationens avskrift:

1 732G22 Grunder i statistisk metodik
FL9 732G22 Grunder i statistisk metodik Detta är en generell mall för att göra PowerPoint presentationer enligt LiUs grafiska profil. Du skriver in din rubrik, namn osv på sid 1. Börja sedan skriva in din text på sid 2. För att skapa nya sidor, tryck Ctrl+M. Sidan 3 anger placering av bilder och grafik. Titta gärna på ”Baspresentation 2008” för exempel. Den sista bilden är en avslutningsbild som visar LiUs logotype och webadress. Om du vill ha fast datum, eller ändra författarnamn, gå in under Visa, Sidhuvud och Sidfot. Linköpings universitet

2 Populationsparametrar och skattningsfunktioner
Populationsparametrar och skattningsfunktioner Populationsparameter (okänd sanning) Skattningsfunktion (uppskattning baserat på stickprov) Medelvärde Varians Standardavvikelse Proportionstal Linköpings universitet

3 Är dessa antaganden rimliga?
Punktskattning = att använda skattningsfunktion som en uppskattning av populationsparameter Dock: skattningsfunktioner är slumpvariabler och antar olika värden för varje stickprov. Hur ska vi hantera den osäkerheten? Vi börjar med att göra tre antaganden: stickprovet är draget som ett OSU populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad populationsstandardavvikelsen σ är känd Är dessa antaganden rimliga? Linköpings universitet

4 Konfidensintervall för medelvärde
Konfidensintervall för medelvärde Konfidensintervall = ett osäkerhetsintervall utlagt kring som tillåter oss att med en viss säkerhet säga att µ ingår i intervallet Formel för konfidensintervall: Beräkna Hämta värdet på z ur normalfördelningstabell Linköpings universitet

5 Exempel Glödlampor som tillverkas i en viss fabrik har en lystid som kan betraktas som normalfördelad med medelvärde 1600 timmar och standardavvikelse 100 timmar. Nu har man bytt en maskin i fabriken, och har dragit ett stickprov om 150 lampor och konstaterat att bland dem var den genomsnittliga lystiden = 1618 timmar, medan standardavvikelsen förefaller oförändrad. Beräkna ett 95% konfidensintervall för lystiderna för lampor tillverkade med den nya maskinen! Linköpings universitet

6 Hur kan vi påverka bredden på ett konfidensintervall?
Hur kan vi påverka bredden på ett konfidensintervall? Öka n Välj en annan konfidensnivå: Lägre konfidensnivå ger ett mindre tabellvärde och därmed ett smalare intervall, men samtidigt minskar säkerheten (exempelvis, 90% konfidensnivå innebär att vi bara med 90% säkerhet inkluderar det sanna populationsmedelvärdet (µ) i konfidensintervallet) Linköpings universitet

7 stickprovet måste vara draget som ett OSU
Den metod för att bilda konfidensintervall vi diskuterat hittills baseras alltså på de tre kraven stickprovet måste vara draget som ett OSU populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad populationsstandardavvikelsen σ är känd Är det rimligt att dessa krav uppfylls i praktiken? => Nej, åtminstone inte att σ är känd Linköpings universitet

8 Konfidensintervall när σ är okänd
Konfidensintervall när σ är okänd Baserat på antagandena att stickprovet måste vara draget som ett OSU populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad kan vi skatta σ med och beräkna konfidensintervallet som där t hämtas ur t-fördelningen Linköpings universitet

9 Exempel En viss sorts påsar med kryddor påstås innehålla 4 gram. Vi kontrollmäter fyra slumpmässigt utvalda påsar och erhåller Beräkna ett 95% konfidensintervall för genomsnittsivikten i påsarna! 4.0 3.6 3.9 4.1 Linköpings universitet

10 Normalfördelning (z) och t-fördelning (t)
Normalfördelning (z) och t-fördelning (t) t-värdet är alltid större än z för att ta hänsyn till den ökade osäkerheten som följer av att konfidensintervallet baseras på två skattningar (både och s) t-värdet konvergerar (går mot) z när n ökar (titta i t-tabellen!) Linköpings universitet

11 Konfidensintervall för π
Konfidensintervall för π Om np(1-p) > 5 kan vi beräkna Exempel: Vid en undersökning bland 1000 personer dagen efter melodifestivalen svarade 536 att rätt låt vann. Beräkna ett 95-procentigt konfidensintervall för andelen av svenska befolkningen som anser att rätt låt vann! Linköpings universitet

12 När ska vi använda vilken fördelning?
När ska vi använda vilken fördelning? Typ av problem Fördelning Medelvärde, σ känd Normalfördelning Medelvärde, σ okänd t-fördelning Medelvärde, σ okänd, n > 30 Andelar Linköpings universitet

13 Finns det någon skillnad i genomsnittlig bromssträcka mellan yngre och äldre bilförare? Beror skillnaden vi tycker oss se på slumpen, eller är den statistiskt säkerställd? Med andra ord: är populationerna Yngre respektive Äldre lika? Krav: Vi har gjort två OSU och observationerna är oberoende av varandra Populationerna som stickproven dragits ifrån kan betraktas som normalfördelade Bromssträcka (i meter) Yngre Äldre 75.1 107.3 84.9 76.9 100.6 101.0 67.0 91.7 77.3 83.2 Linköpings universitet

14 Konfidensintervall för jämförelse av medelvärden i två populationer om stickproven är små (n1 och n2 < 30) där och t är t-tabellvärdet med n1 + n2 -2 frihetsgrader Linköpings universitet

15 Konfidensintervall för jämförelse av medelvärden i två populationer om stickproven är stora (n1 och n2 > 30) Exempel: En fabrik har två produktionslinjer som parallellt tillverkar samma produkt. Man vill undersöka om det finns några skillnader i produktivitet mellan de två linjerna och studerar därför antalet tillverkade produkter per produktionspass under 60 dagar, och följande beräknas: Linje n Medelvärde Standardavvikelse 1 60 2581 21.35 2 2623 14.38 Linköpings universitet

16 Finns det någon skillnad i preferens för reklambroschyr?
Finns det någon skillnad i preferens för reklambroschyr? För att jämföra två reklambroschyrer, lät en reklamfirma trycka upp 1000 broschyrer enligt en metod och 1500 broschyrer enligt en annan. Broschyrerna delades ut till 2500 slumpmässigt valda personer och slumpen styrde också vem som fick vilken sorts broschyr. Av de 1000 broschyrerna blev 370 lästa, och av de 1500 blev 491 lästa. Finns det några skillnader i effektivitet (mätt som andel lästa) mellan de två broschyrerna? Linköpings universitet

17 Konfidensintervall för jämförelse av andelar i två populationer
Konfidensintervall för jämförelse av andelar i två populationer Linköpings universitet

18 Enkelsidiga konfidensintervall
Enkelsidiga konfidensintervall  > Punktskattning – tabellvärde * medelfel  < Punktskattning + tabellvärde * medelfel Exempel: Vid en anonym enkät bland ett stickprov om 100 förvärvsarbetande i en kommun uppger 16% av respondenterna att de sjukanmält sig fast de var friska fast för att slippa gå till jobbet. Beräkna ett enkelsidigt 95% konfidensintervall som ger en nedre gräns för andelen falskt sjukanmälda i kommunen. Linköpings universitet

19 Parvisa observationer
Parvisa observationer När samma individ undersöks vid två olika tillfällen, till exempel före och efter en behandling, uppfylls inte kravet på oberoende mellan stickproven. Exempel: I en kurs i lästeknik får de 8 deltagarna vara med om två läshastighetstest, den ena före kursen och den andra efter. Har kursen gett något resultat? Deltagare 1 2 3 4 5 6 7 8 Före 287 308 275 310 322 269 290 299 Efter 298 305 288 315 321 281 295 Linköpings universitet