Dagens ämnen Linjära avbildningar

En presentation över ämnet: "Dagens ämnen Linjära avbildningar"— Presentationens avskrift:

1 Dagens ämnen Linjära avbildningar
Definition och exempel Linjära avbildningar som matrisprodukt ”Rätt bas” till en given avbildning Exempel på matriser till standardavbildningar i ”rätt bas”

2 Definition 7.2.1 Låt U och V vara två vektorrum. En funktion F: U→V för vilken gäller att F(u+v) = F(u) + F(v) för alla u,v∊U F(λu) = λF(u) för alla u∊U och alla λ∊R kallas en linjär avbildning. Definition 1, sid 433. Låt V och W vara vektorrum. En funktion T: V→W. f kallas en linjär avbildning från V till W om följande gäller Om V=W så kallas f också en operator. Låt U och V vara vektorrum. En funktion F: U→V från V till W om följande gäller för alla u och v i V och alla skalärer k: T(ku) = kT(u) [Homogenitets egenskapen] T(u+v) = T(u) + T(v) [Additivitets egenskapen] Om V=W så kallas T en linjär operator. Låt U och V vara vektorrum. En funktion F: U→V från V till W om följande gäller för alla u och v i V och alla skalärer k: T(ku) = kT(u) [Homogenitets egenskapen] T(u+v) = T(u) + T(v) [Additivitets egenskapen] Om V=W så kallas T en linjär operator.

3 Exempel F: R→R linjär ⇔ F(x)=konstant·x,
Derivering, F(f )=f ’ är en linjär avbildning, Geometriska standardoperationer, projektion, vridning, sträckning, etc är linjära avbildningar A nxm-matris, X mx1-matris. F(X)=AX är linjär

4 Matriser till linjära avbildningar

5 Vridning i planet F(e2)=(-sinθ,cosθ)= e e2 F(e1)=(cosθ,sinθ)=e θ θ e1

6 Vridning i rummet

7 Ortogonalprojektion på vektor
u e2 F(u) F(e2)=0 e1=F(e1)

8 Ortogonalprojektion i plan
u f1 F(f3)=f3 F(u) F(f2)=f2 F(f1)=0

9 Spegling i x-axeln u f2 F(f1)=f1 F(f2)=-f2 F(u)

10 Spegling i plan u f1 F(f3)=f3 F(f2)=f2 F(u) F(f1)=-f1