MaB: Andragradsfunktioner

En presentation över ämnet: "MaB: Andragradsfunktioner"— Presentationens avskrift:

1 MaB: Andragradsfunktioner
Allmänt En andragradsfunktion kan skrivas y = ax2 + bx + c där a, b och är konstanter, ex. y = 4x2 – 2x (a = 4, b = -2, c = 1) Ritar vi upp y = x2 i ett koordinatsystem får vi: Några punkter ur värdetabell: x y (= x2) - 2 ( -2 )2 = 4 - 1 ( -1 )2 = 1 02 = 0 1 12 = 1 2 22 = 2 Vi kan se att kurvan är symmetrisk. Det finns två olika x-värden (utom x = 0) som ger samma y-värde, t.ex. -1 och 1, -2 och 2!

2 MaB: Andragradsfunktioner
Ritar vi upp fler andragradsfunktioner kan vi se att alla har samma symmetri och typiska utseende. y = x2 + 4x y = -0,5x2 +3x – 2 Studerar vi ännu fler ser vi att för y = ax2 + bx + c gäller: 1. a > 0 ger att kurvan har ett minsta värde (positiv = glad mun) 2. a < 0 ger att kurvan har ett största värde (negativ = sur mun) 3. max eller min finns på kurvans symmetrilinje 4. värdet på c ger skärning med y-axel Kurvans form kallas parabel

3 MaB: Andragradsfunktioner
Nollställen Vill vi bestämma när kurvan har (y-)värdet noll kan vi ställa upp och lösa en andragradsekvation. ex. y = x2 – 2x – 3, löser vi x2 – 2x – 3 = 0 finner vi lösningarna x1 = -1 och x2 = 3 vilket är funktionens nollställen Nollställen hittar vi på x-axeln Mitt i mellan nollställen finns symmetrilinjen och min-värde Om kurvan ligger ovan eller under x-axeln så saknas nollställen och ekvationen y = 0 saknar lösning! (tangerar kurvan x-axeln så har ekvationen y=0 en s.k. dubbelrot, dvs. en lösning)

4 MaB: Andragradsfunktioner
Exempel Bestäm största eller minsta värde för y = x2 + x – 2 1. Konstaterar att funktionen har ett minsta värde. (x2 = + x2 , positiv x2-term = glad mun, dvs min. finns) 2. Bestämmer nollställen, sätter x2 + x – 2 = 0 och finner x1 = -2 och x2 = 1 3. Mitt i mellan -2 och 1 finns x = -0,5 som är symmetrilinjen! 4. Minimum finns på symmetrilinjen, dvs vi räknar ut minsta värdet genom att sätta in x = -0,5 i y = x2 + x – 2 vilket ger y = -2,25

5 MaB: Andragradsfunktioner
Exempel Hur hittar vi största eller minsta värde om nollställen saknas? I förra exemplet, y = x2 + x – 2, fann vi med hjälp av nollställena funktionens symmetrilinje x = - 0,5 Löser vi x2 + x – 2 = 0 med hjälp av lösningsformeln får vi: Redan här kan vi identifiera symmetrilinjens ekvation. (x=-0,5) Detta värde ligger alltid mitt i mellan ev. nollställen då vi tar + och – med samma värde för att beräkna de två nollställena. Saknas nollställen så kan vi ändå beräkna detta värde som ger symmetrilinjen och sedan gå vidare på samma sätt som tidigare!!

6 MaB: Andragradsfunktioner
Tillämpning En sten kastas uppåt och fångas i handen igen. Höjden hos stenen varierar enligt: h(t) = 10t -5t2 h = höjd i meter mätt från handen som kastar den t = tiden i sekunder från uppkastet Beräkna hur länge stenen är i luften och hur högt den kommer. 1. Bestämmer funktionens nollställen med ekvationen 10t -5t2 = 0 5t( 2-t) = 0 som har lösningarna t1 = 0 och t1 = 2 Tolkar svaret som att den efter 2,0 sekunder är tillbaka. 2. Symmetrilinjen ligger då på t = 1,0 varför vi kan beräkna största värdet h(1) = 10·1,0 - 5 ·(1,0)2 = 5,0 meter, dvs stenen är som högst 5,0 meter över handen. (-5t2 betyder att vi på symmetrilinjen har ett största värde! (sur mun) )