Kurvor, derivator och integraler

En presentation över ämnet: "Kurvor, derivator och integraler"— Presentationens avskrift:

1 Kurvor, derivator och integraler
Kapitel 3 Kurvor, derivator och integraler manada.se

2 3.3 Från derivata till funktion
Primitiva funktioner Primitiva funktioner med villkor manada.se

3 Primitiva funktioner 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥 2 −12𝑥−15 𝐹 𝑥 = 𝑥 3 −6 𝑥 2 −15𝑥+𝐶
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −6 𝑥 2 −15𝑥+2 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥 2 −12𝑥−15 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −6 𝑥 2 −15𝑥+16 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥 2 −12𝑥−15 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −6 𝑥 2 −15𝑥+3,5 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥 2 −12𝑥−15 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥 2 −12𝑥−15 𝐹 𝑥 = 𝑥 3 −6 𝑥 2 −15𝑥+𝐶 𝐹(𝑥) är primitiv funktion till 𝑓´(𝑥) manada.se

4 Primitiva funktioner Om 𝑭(𝑥) är en funktion och 𝒇 (𝑥) är derivata för denna funktion då En funktion 𝑭 kallas en primitiv funktion till 𝒇 om 𝑭′(𝒙)=𝒇(𝒙) Vi säger att 𝑭 är antiderivatan till 𝒇 Om vi startar med en funktion 𝒇 så är det 3 frågor vi måste ställa Hur hittar vi en primitiv funktion 𝑭 till 𝒇 Hur hittar vi alla primitiv funktion 𝑭 till 𝒇 Hur hittar vi den primitiv funktion 𝑭 till 𝒇 som uppfyller ett visst villkor manada.se

5 Primitiva funktioner Om 𝑓(𝑥) =2𝑥 så är 𝐹(𝑥)= 𝑥 2 en primitiv funktion till 𝑓(𝑥) eftersom 𝐹′(𝑥)= 2𝑥 Men 𝐹(𝑥)= 𝑥 är också en primitiv funktion till 𝑓(𝑥) =2𝑥 eftersom 𝐹′(𝑥)= 2𝑥 Vilken konstant 𝑪 vi än lägger till 𝑥 2 så får vi en primitiv funktion till 𝑓(𝑥) =2𝑥 Grafen visar 𝑭(𝒙)= 𝒙 𝟐 + 𝑪 för några olika 𝑪−värden Varje funktion av typen 𝒚 = 𝒙 𝟐 + 𝑪, där 𝑪 är en konstant, har 𝒚′= 2𝑥 manada.se

6 Primitiva funktioner Grafen till funktioner som har samma derivata måste tydligen för varje 𝒙 -värde ha samma lutning. Grafen har samma form Grafen är parallellförskjutna i 𝒚 -led. manada.se

7 Primitiva funktioner Om 𝑭(𝒙) är en primitiv funktion till 𝒇(𝒙) så betecknar 𝑭 𝒙 +𝑪 , där 𝑪 är en konstant, samtliga primitiva funktioner till 𝒇(𝒙) manada.se

8 Primitiva funktioner manada.se

9 Primitiva funktioner manada.se

10 Primitiva funktioner 𝑓(𝑥) 𝐹(𝑥) manada.se

11 Primitiva funktioner med villkor
Bestäm den funktion 𝑦=𝑓(𝑥) för vilken gäller: 𝑦´=2𝑥−1 och 𝑦(2)=0 Den sökta funktionen: manada.se

12 Primitiva funktioner med villkor
Bestäm den funktion 𝑦=𝑓(𝑥) för vilken gäller: 𝑦´= 1 𝑥 2 och 𝑦(2)=1 Vilken grad skall funktionen ha? Vad skall (−1) multipliceras med för att det skall bli 1? manada.se manada.se

13 Primitiva funktioner med villkor
Bestäm den funktion 𝑦=𝑓(𝑥) för vilken gäller: 𝑦´= 1 𝑥 2 och 𝑦(2)=1 Den sökta funktionen: manada.se

14 Hastigheten 𝒗 (m/s) för en inbromsade rymdsond ges av formeln
Uppgift 3316, s. 172 Hastigheten 𝒗 (m/s) för en inbromsade rymdsond ges av formeln 𝒗=𝟏𝟐𝟎𝟎−𝟐𝟓𝒕−𝟎,𝟐 𝒕 𝟐 där 𝒕 är tiden i sekunder räknat från inbromsningens början. Hur lång sträcka färdas rymdsonden under de 10 första sekunderna av inbromsningen? Vi vet att hastighetsfunktionen är derivatan av väggfunktionen, dvs 𝒗 = 𝒔′ Vi söker alla primitiva funktioner 𝒔 till 𝒗 = 𝒔′= 1200−25t−0,2 t 2 𝒔=1200𝑡− 25𝑡 − 0,2𝑡 C Konstanten C bestämmer vi ur villkoret att 𝑠 =0 då 𝑡 =0 0=0 +C C =0 𝑠(𝑡)=1200𝑡− 25𝑡 − 0,2𝑡 3 3 𝑠(10)=1200∙10− 25∙ − 0,2∙ ≈ 10,7∙103 Svar: Rymdsonden färdas 11 km under de 10 första sekunderna av inbromsning manada.se