Kap 1 - Algebra och funktioner

En presentation över ämnet: "Kap 1 - Algebra och funktioner"— Presentationens avskrift:

1 Kap 1 - Algebra och funktioner

2 1.1 Algebra och polynom

3 POLYNOM Vid straffkast i basketboll är kastkurvan en parabel. Den kan beskrivas med andragradspolynomet y = 2,15 + 2,1x – 0,41x2

4 Algebra och funktioner

5 y = 2,15 + 2,1x – 0,41x2 Terminologi +2,15 är en konstantterm
+2,1x och -0,41x2 är variabeltermer talen +2,1 och -0,41 kallas koefficienter y innehåller värdet på polynomet (uttrycket)

6 Potenslagarna SE FORMELBLADET!

7 ? Potenslagarna Tips på metod Byt ut alla a mot 5 och alla x mot 3
Kontroll med räknare ?

8 Definitioner ETT GENOM

9 Definitioner

10 Definitioner

11 Definitioner

12 Definitioner

13 Lagar för kvadratrötter

14 Lagar för kvadratrötter

15 Absolutbelopp Absolutbeloppet, eller absolutvärdet av ett tal x betecknas |x| och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen. Källa:

16 Absolutbelopp

17 Absolutbelopp

18 Absolutbelopp, ett exempel

19 Absolutbelopp, ett exempel

20 Andragradsekvationer
Lösningsformeln Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

21 OBS!

22 Andragradsekvationer
För att använda lösningsformeln så är det bra att först skriva ekvationen på normalform, identifiera talen p och q och sedan sätta in dem i formeln, och eventuellt förenkla uttrycket lite. Den här lösningsformeln kallas populärt för pq-formeln. [ ]

23 Andragradsekvationer
Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

24 Uppgift 1101 & 1102

25 a och b är polynomets nollställen
Andragradspolynom a och b är polynomets nollställen

26 Andragradspolynom

27 Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

28 Andragradspolynom Nollställen

29 Andragradspolynom Funktionen heter:

30 Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

31 Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

32 ARBETA NEDÅT! Räkning med polynom (8 + 2x) + (3 – 4x) =

33 Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Kolla med DESMOS

34 Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Kolla med DESMOS

35 Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Ta hjälp av DESMOS

36 Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Ta hjälp av DESMOS

37 Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)² (5p-8)²

38 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Kvadreringsreglerna
1:a kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2:a kvadreringsregeln (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

39 (z – 2p)2 = z2 – 4pz + 4p2 (2x + 3)2 = (2x)2 + 12x + 9
Kvadreringsreglerna 1:a kvadreringsregeln (2x + 3)2 = (2x)2 + 12x + 9 2:a kvadreringsregeln (z – 2p)2 = z2 – 4pz + 4p2

40 (a + b)(a - b) = a2 – b2 (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 – 9
Konjugatregeln (a + b)(a - b) = a2 – b2 (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 – 9 (2x)2 –32 = 4x2 - 9

41 1.2 Rationella uttryck

42 Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället

43 Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället

44 TALMÄNGDER

45 Rationella uttryck

46 Rationella uttryck För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3

47 Rationella uttryck Testa!
För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3 Testa!

48 Förlängning

49 Förkortning

50 Klarar du denna utan räknare?

51 Klarar du denna utan räknare?

52 Vad heter kurvan?

53 Vad heter kurvan?

54 Kan du rita denna i DESMOS?

55 Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)² (5p-8)²

56 Förenkla 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)²

57 Förenkla 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)²

58 Enklaste form

59 Förlängning, exempel

60 Förlängning, exempel

61 Enklaste form, exempel

62 Enklaste form, exempel

63 Enklaste form, exempel Hur vet man att det är just talet 10 man skall förlänga med?

64 Varning!! OBS!!

65 Varning!! VARFÖR!

66 Fundering! Är detta samma sak?

67 OBS!!

68 Bryt ut (-1)

69 Bryt ut -1

70 Förenkla

71 Förenkla

72 1.3 Funktioner

73 Funktioner

74 Vertikaltest

75 Vertikaltest

76 Vertikaltest

77 Funktioner VÄRDEMÄNGD DEFINITIONSMÄNGD

78 Räta linjens ekvation

79 Räta linjens ekvation m = 1

80 Räta linjens ekvation m = 6

81 Räta linjens ekvation

82 Räta linjens ekvation

83 Tre lutningar

84 Räta linjens ekvation

85 Andragradsekvationer

86 DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

87 Buskar på rad Y = 5x + 3

88 Buskar på rad Y = 5x + 3

89 Buskar på rad Y = 5x + 3

90 Buskar på rad Y = 5x + 3

91 Buskar på rad Y = 5x + 3

92 Andragradsekvationer
Inget nollställe Ett nollställe (dubbelrot) Två nollställen NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN

93 Andragradsekvationer
Inget nollställe Ett nollställe (dubbelrot) Två nollställen

94 Andragradsekvationer
NOLLSTÄLLEN

95 Andragradsekvationer
Lösningsformeln Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

96 Andragradsekvationer
Symmetrilinje Minimipunkt

97 Grafisk lösningsmetod

98 Algebraisk lösningsmetod
Vad hände här?

99 Algebraisk lösningsmetod

100 Algebraisk lösningsmetod

101 Grafisk lösningsmetod
Lös denna med hjälp av DESMOS

102 Grafisk lösningsmetod
Lös denna med hjälp av DESMOS

103 DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

104 Logaritmer ”2 är 10-logaritmen för 100”

105 Logaritmer ”3 är 10-logaritmen för 1000”

106 Logaritmer

107 Logaritmer ”x är 10-logaritmen för 7” ”x är 8-logaritmen för 5”

108 Logaritmer (1) (1) lg(3×4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, [test] (2) lg(3*4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, lg(3^4) = 1, *lg(3) = 1, (2) lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, [test] (3) (3) lg(3^4) = 1, ×lg(3) = 1, [test] 108

109 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

110 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

111 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

112 Logaritmer med olika baser
4 är 3-logaritmen för 81 4 är den exponent till 3 som ger 81 4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81

113 Logariter – ett exempel

114 Logariter – ett exempel
På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,

115 Logariter – samma sak?

116 Logariter – NEJ!

117 Halveringstid Y0 = begynnelsemängd T = halveringstid
X = 3/(lg(2))*2400 = 23917, x = (3/lg(2))*24000 = , [2,4 × 105] 117

118 Exponentialfunktioner & potensfunktioner

119 Logaritmer Enligt räknaren…

120 OBS! 197^(1/5) = 2, lg(197)/lg(5) = 3, 2,87669^5 = 196, 5^3, = 196,

121 Potensfunktioner & Exponentialfunktioner

122 Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år

123 Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år. (3,2/2,4)^(1/5) = 1,

124 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år

125 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är ? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden

126 Exponentialfunktioner
Vad vet vi om a?

127 Exponentialfunktioner

128 Exponentialfunktioner
Vad vet vi om a?

129 Exponentialfunktioner

130 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

131 Vilken är exponentialfunktionen?
Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av (0,5) ger:

132 Vilken är exponentialfunktionen?
Insättning av (1,4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

133 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

134 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

135 Vilken är exponentialfunktionen?

136 Vilken är exponentialfunktionen?

137 Vilken är exponentialfunktionen?

138 Vilken är exponentialfunktionen?

139 Folkmängd Folkmängden ökar med 5 % varje år.
Fakta Folkmängden ökar med 5 % varje år. Första året ökar folkmängden med 750 personer. Uppgift Hur stor är folkmängden om 10 år?

140 Folkmängd Folkmängd från början: Folkmängd om 10 år:

141 Sätt namn på grafen

142 Sätt namn på grafen

143 Kan du det här? 1 (s. 64)

144 Kan du det här? 1 (s. 64)

145 Kan du det här? 1 (s. 64)

146 VAD HETER FUNKTIONEN? F(x) = (x - 3)(x + 2)

147 VAD HETER FUNKTIONEN? f(x)=(x+2)(x-3)  f(x)=x²-3x+2x-6  f(x)=x²-x-6

148 VAD HETER FUNKTIONEN? y=-x^2-x+6

149 VAD HETER FUNKTIONEN? Men detta stämmer ju inte! Vad göra…? Testa!!
y=-x^2-x+6 Testa!! [ Länk till DESMOS ]

150 VAD HETER FUNKTIONERNA?
y=-x^2-x+6

151 ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1

152 Befolkningsproblem C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då:

153 Befolkningsproblem C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: På räknaren: (3,2/2,4)^(1/5) = 1, … Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.

154 Befolkningsproblem C är ”startvärde” a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är ? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden

155 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

156 Vilken är exponentialfunktionen?
Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av (0,5) ger:

157 Vilken är exponentialfunktionen?
Insättning av (1,4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

158 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är ? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden

159 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

160 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen?

161 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?

162 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

163 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

164 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

165 Befolkningsproblem HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare? HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?

166 Befolkningsproblem HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare? HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?

167 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

168 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

169 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

170 ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1

171 Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!

172 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

173 SOCRATIVE