Ladda ner presentationen
Presentation laddar. Vänta.
1
Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller
2
Algebra och icke-linjära modeller
2.1 Polynom 2.2 Andragradsekvationer 2.3 Andragradsfunktioner 2.4 Potenser och potensekvationer 2.5 Exponentialfunktioner och logaritmer
3
GENOMGÅNG 2.1
4
POLYNOM Ett polynom är en summa av termer konstant koefficient
variabel
5
DEFINITIONER ”ett genom” Exempel:
6
FORMELBLADET Nu är det dags att ta fram…
7
POTENSLAGARNA Hur ser dessa ut i ditt formelblad?
8
POTENSLAGARNA Hur ser dessa ut i ditt formelblad?
9
POTENSLAGARNA
10
POTENSLAGARNA
11
POTENSLAGARNA
12
POTENSLAGARNA
13
VÄRDET AV ETT POLYNOM
14
PARENTESREGLERNA En parentes som föregås av ett plustecken kan utan vidare tas bort. En parentes som föregås av ett minustecken kan tas bort, om man samtidigt ändrar tecken för varje term inom parentesen.
15
ADDITION AV POLYNOM
16
SUBTRAKTION AV POLYNOM
17
FÖRSTA KVADRERINGSREGELN
18
FÖRSTA KVADRERINGSREGELN
OBS! OBS!
19
ANDRA KVADRERINGSREGELN
20
ANDRA KVADRERINGSREGELN
21
KONJUGATREGELN
22
KONJUGATREGELN
23
Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!
24
Multiplikation av polynom
25
MATTEBOKEN.SE
26
Faktorisering av polynom
Bryt ut faktorn x ur följande polynom:
27
Faktorisering av polynom
Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:
28
Faktorisering av polynom
Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:
29
GENOMGÅNG 2.2 2.2 Andragradsekvationer
30
ANDRAGRADSFUNKTIONER
Linjär funktion Andragradsfunktion Y = 2x - 3 Y = x2 - 3 Denna kan man även kalla ”förstagradsfunktion” En andragradskurva kallas även för parabel
31
ANDRAGRADSEKVATIONER
-X +X Symmetrilinje
32
ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje
33
ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen [Dubbelrot] NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”? NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0
34
ANDRAGRADSEKVATIONER
NOLLSTÄLLEN
35
ANDRAGRADSEKVATIONER
Minpunkt Maxpunkt
36
ANDRAGRADSEKVATIONER
Sidan 99 i Matematik bc VUX-boken
37
ANDRAGRADSEKVATIONER
Gör så här för att ta reda på vilka x-värden som ger funktionsvärdet noll (0). Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen Kontrollera med DESMOS
38
ANDRAGRADSEKVATIONER
Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen X = 2 och x = 8 Kontrollera med DESMOS
39
ANDRAGRADSEKVATIONER
Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen Kontrollera med DESMOS
40
FRIVILLIGT TILLÄGG TILL FORMELBLADET
Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen Talet gånger sig själv X = 2 och x = 8
41
Nollställe VAD är det som är noll på ett nollställe?
42
Nollställe VAD är det som är noll på ett nollställe?
43
ANDRAGRADSEKVATIONER
Lösningsformeln Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = Halva koefficienten för x med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!
44
ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt
45
ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen
46
GENOMGÅNG 2.3 2.3 Andragradsfunktioner
47
ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen [Dubbelrot] NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”? NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0
48
ANDRAGRADSEKVATIONER
Lösningsformeln Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = Halva koefficienten för x med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!
49
FRIVILLIGT TILLÄGG TILL FORMELBLADET
Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen Talet gånger sig själv X = 2 och x = 8
50
ANDRAGRADSEKVATIONER
51
ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt
52
PQ-formeln
53
PQ-formeln
54
PQ-formeln ? DUBBELROT!
55
PQ-formeln ? DUBBELROT!
56
PQ-formeln ? LÖSNING SAKNAS!
57
ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen [Dubbelrot]
58
ANDRAGRADSEKVATIONER
Minpunkt Maxpunkt
59
ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 114
60
ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 114
61
ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 115
62
ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 115
63
ANDRAGRADSFUNKTIONER
Hur vet vi det? Matematik 2bc VUX – boken, sid 115
64
ANDRAGRADSFUNKTIONER
b) (2,0) och (6,0) c) x = 2 och x = 6 d) x = 4 e) x = 4 Matematik 2bc VUX – boken, sid 116
65
ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2bc VUX – boken, sid 117
66
ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2bc VUX – boken, sid 117
67
ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2bc VUX – boken, sid 117
68
ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt
69
ANDRAGRADSEKVATIONER
1 1 Minimipunkt
70
Andragradsfunktioner - DESMOS
Vad heter denna funktion?
71
Andragradsfunktioner - DESMOS
Vad heter denna funktion?
72
Andragradsfunktioner - DESMOS
Var skär kurvan och linjen varandra?
73
Andragradsfunktioner - DESMOS
74
Andragradsfunktioner
Algebraisk lösning
75
Andragradsfunktioner
Var skär dessa kurvor varandra? Lös den grafiskt.
76
Andragradsfunktioner
Var skär dessa kurvor varandra? Nu kan vi använda PQ-formeln! Lös den algebraiskt.
77
Uppgift Lös denna på två sätt, grafiskt och algebraiskt.
Var skär dessa kurvor varandra? Lös denna på två sätt, grafiskt och algebraiskt.
78
Uppgift Var skär dessa kurvor varandra?
79
Uppgift Var skär dessa kurvor varandra?
80
Andragradsfunktioner - DESMOS
Ange en funktion som aldrig skär denna funktion: Gå till DESMOS!
81
Andragradsfunktioner - DESMOS
Vad heter denna funktion?
82
GENOMGÅNG 2.4 2.4 Potenser och potensekvationer 82
83
Roten ur
84
Potensekvationer
85
Ekvationen xn = a
86
Ekvationen xn = a
87
OBS!
88
OBS! 5^(1/2) = 2, 5^(1/3) = 1, 5^(1/4) = 1,
90
GENOMGÅNG 2.5 2.5 Exponentialfunktioner och logaritmer 90
92
Förändringsfaktor Nya värdet = Förändringsfaktor Gamla värdet
Ökning med 5 % Ett exempel 210 kronor = 1,05 Räknaren: 200 kronor Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet 1,05 × 200 kronor = 210 kronor Ökning med 5 % Räknaren:
93
Förändringsfaktor Nya värdet = Förändringsfaktor Gamla värdet
Minskning med 5 % Ett exempel 190 kronor = 0,95 Räknaren: 200 kronor Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet 0,95 × 200 kronor = 190 kronor Minskning med 5 % Räknaren:
94
Flera procentuella förändringar
William köper en ny bil för kronor. Den beräknas sjunka i värde Med 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år? Efter 1 år: Efter 2 år: Efter 3 år: Efter 4 år: Efter 5 år: Svar: Efter 5 år är bilen värd c:a kronor
95
Flera procentuella förändringar
William köper en ny bil för kronor. Den beräknas sjunka i värde Med 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år? A: Efter 5 år: B: Efter 5 år: Vilket sätt att skriva tycker Du är bäst? Svar: Efter 5 år är bilen värd c:a kronor
96
Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år (antal upprepningar)
97
Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år? Lösning: Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då: Svar: Om 10 år är folkmängden
98
Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas minska med 2 % varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år? Lösning: Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då: Svar: Om 10 år är folkmängden
99
Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Vad heter denna exponentialfunktion?
100
Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Vad heter denna exponentialfunktion?
101
Logaritmer ”x är 10-logaritmen för 7” ”x är 10-logaritmen för 5”
102
Logaritmer
103
Logaritmer
104
Logaritmer
105
Logaritmer Vad är x ?
106
Logaritmer
107
Logaritmer Enligt räknaren…
108
Logaritmer (1) (1) lg(3×4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, [test] (2) lg(3*4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, lg(3^4) = 1, *lg(3) = 1, (2) lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, [test] (3) (3) lg(3^4) = 1, ×lg(3) = 1, [test] 108
109
Logaritmlagar Exempel: TESTA!
110
Logaritmlagar Exempel: TESTA!
111
Logaritmlagar Exempel: TESTA!
112
Logaritmer - exempel lg(10)/lg(3) = 2,09590327429
10^(1/3) = 2,
113
MARKÖR HÄR!
114
Logaritmer - exempel lg(10)/lg(5) = 1,43067655807
10^(1/5) = 1,
115
Logaritmer - exempel lg(27)/lg(7,5) = 1,63572977578
27^(1/7,5) = 1,
116
Logaritmlagar
117
Logaritmlagar
119
Logaritmer med olika baser
4 är 3-logaritmen för 81 4 är den exponent till 3 som ger 81 4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81
120
Logariter – ett exempel
121
Logariter – ett exempel
På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,
122
Halveringstid Y0 = begynnelsemängd T = halveringstid
X = 3/(lg(2))*2400 = 23917, x = (3/lg(2))*24000 = , [2,4 × 105] 122
123
Vad är ”roten ur” minus 25?
124
PQ-formeln
125
PQ-formeln
126
PQ-formeln
127
Exponentialfunktioner
128
Exponentialfunktioner
129
Exponentialfunktioner
130
Socrative
131
MATEMATIK 2b Att kunna till prov 2
132
Kvadreringsregler och konjugatregel
Vara säker på och kunna använda båda kvadreringsreglerna Vara säker på och kunna använda konjugatregeln
133
ab² och (ab)² Veta att ab² och (ab)² är olika saker
134
Utveckla och förenkla polynom
Kunna utveckla och förenkla ett polynom liknande (a - b)(2c + d)
135
Ekvationer Kunna lösa ekvationer av typen 4 på sid 155 i boken
136
Andragradsfunktion Länk till DESMOS
Veta hur en andragradsfunktion ser och hur den fungerar Länk till DESMOS
137
Andragradsfunktion Länk till DESMOS
Veta hur man avgör minsta respektive högsta värde på en andragradsfunktion Veta vad som menas med symmetrilinje, vertex och nollställen Länk till DESMOS
138
Roten ur vs. upphöjt till en halv
Veta att "roten ur" även kan skrivas som "upphöjt till en halv"
139
Arean av en triangel Vara säker på hur man beräknar arean av en triangel
140
Uppgift 17 sidan 157 Kunna lösa ekvationer av typen uppgift 17 sidan 157 i boken
141
Uppgift 13 sidan 159 Kunna lösa uppgifter av typen uppgift 13 sidan 159 i boken
142
Ett litet problem Kvadraten och Rektangeln har lika stora areor. Hur långa är sidorna och hur stor area har de båda figurerna?
Liknande presentationer
© 2024 SlidePlayer.se Inc.
All rights reserved.