Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller"— Presentationens avskrift:

1 Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller

2 Algebra och icke-linjära modeller
2.1 Polynom 2.2 Andragradsekvationer 2.3 Andragradsfunktioner 2.4 Potenser och potensekvationer 2.5 Exponentialfunktioner och logaritmer

3 GENOMGÅNG 2.1

4 POLYNOM Ett polynom är en summa av termer konstant koefficient
variabel

5 DEFINITIONER ”ett genom” Exempel:

6 FORMELBLADET Nu är det dags att ta fram…

7 POTENSLAGARNA Hur ser dessa ut i ditt formelblad?

8 POTENSLAGARNA Hur ser dessa ut i ditt formelblad?

9 POTENSLAGARNA

10 POTENSLAGARNA

11 POTENSLAGARNA

12 POTENSLAGARNA

13 VÄRDET AV ETT POLYNOM

14 PARENTESREGLERNA En parentes som föregås av ett plustecken kan utan vidare tas bort. En parentes som föregås av ett minustecken kan tas bort, om man samtidigt ändrar tecken för varje term inom parentesen.

15 ADDITION AV POLYNOM

16 SUBTRAKTION AV POLYNOM

17 FÖRSTA KVADRERINGSREGELN

18 FÖRSTA KVADRERINGSREGELN
OBS! OBS!

19 ANDRA KVADRERINGSREGELN

20 ANDRA KVADRERINGSREGELN

21 KONJUGATREGELN

22 KONJUGATREGELN

23 Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!

24 Multiplikation av polynom

25 MATTEBOKEN.SE

26 Faktorisering av polynom
Bryt ut faktorn x ur följande polynom:

27 Faktorisering av polynom
Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:

28 Faktorisering av polynom
Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:

29 GENOMGÅNG 2.2 2.2 Andragradsekvationer

30 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Linjär funktion Andragradsfunktion Y = 2x - 3 Y = x2 - 3 Denna kan man även kalla ”förstagradsfunktion” En andragradskurva kallas även för parabel

31 ANDRAGRADSEKVATIONER
-X +X Symmetrilinje

32 ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje

33 ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen [Dubbelrot] NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”? NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0

34 ANDRAGRADSEKVATIONER
NOLLSTÄLLEN

35 ANDRAGRADSEKVATIONER
Minpunkt Maxpunkt

36 ANDRAGRADSEKVATIONER
Sidan 99 i Matematik bc VUX-boken

37 ANDRAGRADSEKVATIONER
Gör så här för att ta reda på vilka x-värden som ger funktionsvärdet noll (0). Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen Kontrollera med DESMOS

38 ANDRAGRADSEKVATIONER
Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen X = 2 och x = 8 Kontrollera med DESMOS

39 ANDRAGRADSEKVATIONER
Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen Kontrollera med DESMOS

40 FRIVILLIGT TILLÄGG TILL FORMELBLADET
Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen Talet gånger sig själv X = 2 och x = 8

41 Nollställe VAD är det som är noll på ett nollställe?

42 Nollställe VAD är det som är noll på ett nollställe?

43 ANDRAGRADSEKVATIONER
Lösningsformeln Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = Halva koefficienten för x med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

44 ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

45 ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen

46 GENOMGÅNG 2.3 2.3 Andragradsfunktioner

47 ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen [Dubbelrot] NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”? NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0

48 ANDRAGRADSEKVATIONER
Lösningsformeln Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = Halva koefficienten för x med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

49 FRIVILLIGT TILLÄGG TILL FORMELBLADET
Dela talet framför x med 2 Byt tecken Skriv ”plus/minus roten ur” Skriv in talets kvadrat under rottecknet Skriv sedan konstanttermen med ombytt tecken Beräkna sedan ekvationens nollställen Talet gånger sig själv X = 2 och x = 8

50 ANDRAGRADSEKVATIONER

51 ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

52 PQ-formeln

53 PQ-formeln

54 PQ-formeln ? DUBBELROT!

55 PQ-formeln ? DUBBELROT!

56 PQ-formeln ? LÖSNING SAKNAS!

57 ANDRAGRADSEKVATIONER
Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen [Dubbelrot]

58 ANDRAGRADSEKVATIONER
Minpunkt Maxpunkt

59 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 114

60 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 114

61 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 115

62 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2b VUX – boken, sid 115

63 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Hur vet vi det? Matematik 2bc VUX – boken, sid 115

64 ANDRAGRADSFUNKTIONER
b) (2,0) och (6,0) c) x = 2 och x = 6 d) x = 4 e) x = 4 Matematik 2bc VUX – boken, sid 116

65 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2bc VUX – boken, sid 117

66 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2bc VUX – boken, sid 117

67 ANDRAGRADSFUNKTIONER
Matematik 2bc VUX – boken, sid 117

68 ANDRAGRADSEKVATIONER
Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

69 ANDRAGRADSEKVATIONER
1 1 Minimipunkt

70 Andragradsfunktioner - DESMOS
Vad heter denna funktion?

71 Andragradsfunktioner - DESMOS
Vad heter denna funktion?

72 Andragradsfunktioner - DESMOS
Var skär kurvan och linjen varandra?

73 Andragradsfunktioner - DESMOS

74 Andragradsfunktioner
Algebraisk lösning

75 Andragradsfunktioner
Var skär dessa kurvor varandra? Lös den grafiskt.

76 Andragradsfunktioner
Var skär dessa kurvor varandra? Nu kan vi använda PQ-formeln! Lös den algebraiskt.

77 Uppgift Lös denna på två sätt, grafiskt och algebraiskt.
Var skär dessa kurvor varandra? Lös denna på två sätt, grafiskt och algebraiskt.

78 Uppgift Var skär dessa kurvor varandra?

79 Uppgift Var skär dessa kurvor varandra?

80 Andragradsfunktioner - DESMOS
Ange en funktion som aldrig skär denna funktion: Gå till DESMOS!

81 Andragradsfunktioner - DESMOS
Vad heter denna funktion?

82 GENOMGÅNG 2.4 2.4 Potenser och potensekvationer 82

83 Roten ur

84 Potensekvationer

85 Ekvationen xn = a

86 Ekvationen xn = a

87 OBS!

88 OBS! 5^(1/2) = 2, 5^(1/3) = 1, 5^(1/4) = 1,

89

90 GENOMGÅNG 2.5 2.5 Exponentialfunktioner och logaritmer 90

91

92 Förändringsfaktor Nya värdet = Förändringsfaktor Gamla värdet
Ökning med 5 % Ett exempel 210 kronor = 1,05 Räknaren: 200 kronor Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet 1,05 × 200 kronor = 210 kronor Ökning med 5 % Räknaren:

93 Förändringsfaktor Nya värdet = Förändringsfaktor Gamla värdet
Minskning med 5 % Ett exempel 190 kronor = 0,95 Räknaren: 200 kronor Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet 0,95 × 200 kronor = 190 kronor Minskning med 5 % Räknaren:

94 Flera procentuella förändringar
William köper en ny bil för kronor. Den beräknas sjunka i värde Med 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år? Efter 1 år: Efter 2 år: Efter 3 år: Efter 4 år: Efter 5 år: Svar: Efter 5 år är bilen värd c:a kronor

95 Flera procentuella förändringar
William köper en ny bil för kronor. Den beräknas sjunka i värde Med 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år? A: Efter 5 år: B: Efter 5 år: Vilket sätt att skriva tycker Du är bäst? Svar: Efter 5 år är bilen värd c:a kronor

96 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år (antal upprepningar)

97 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år? Lösning: Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då: Svar: Om 10 år är folkmängden

98 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas minska med 2 % varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år? Lösning: Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då: Svar: Om 10 år är folkmängden

99 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Vad heter denna exponentialfunktion?

100 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Vad heter denna exponentialfunktion?

101 Logaritmer ”x är 10-logaritmen för 7” ”x är 10-logaritmen för 5”

102 Logaritmer

103 Logaritmer

104 Logaritmer

105 Logaritmer Vad är x ?

106 Logaritmer

107 Logaritmer Enligt räknaren…

108 Logaritmer (1) (1) lg(3×4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, [test] (2) lg(3*4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, lg(3^4) = 1, *lg(3) = 1, (2) lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, [test] (3) (3) lg(3^4) = 1, ×lg(3) = 1, [test] 108

109 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

110 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

111 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

112 Logaritmer - exempel lg(10)/lg(3) = 2,09590327429
10^(1/3) = 2,

113 MARKÖR HÄR!

114 Logaritmer - exempel lg(10)/lg(5) = 1,43067655807
10^(1/5) = 1,

115 Logaritmer - exempel lg(27)/lg(7,5) = 1,63572977578
27^(1/7,5) = 1,

116 Logaritmlagar

117 Logaritmlagar

118

119 Logaritmer med olika baser
4 är 3-logaritmen för 81 4 är den exponent till 3 som ger 81 4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81

120 Logariter – ett exempel

121 Logariter – ett exempel
På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,

122 Halveringstid Y0 = begynnelsemängd T = halveringstid
X = 3/(lg(2))*2400 = 23917, x = (3/lg(2))*24000 = , [2,4 × 105] 122

123 Vad är ”roten ur” minus 25?

124 PQ-formeln

125 PQ-formeln

126 PQ-formeln

127 Exponentialfunktioner

128 Exponentialfunktioner

129 Exponentialfunktioner

130 Socrative

131 MATEMATIK 2b Att kunna till prov 2

132 Kvadreringsregler och konjugatregel
Vara säker på och kunna använda båda kvadreringsreglerna Vara säker på och kunna använda konjugatregeln

133 ab² och (ab)² Veta att ab² och (ab)² är olika saker

134 Utveckla och förenkla polynom
Kunna utveckla och förenkla ett polynom liknande (a - b)(2c + d)

135 Ekvationer Kunna lösa ekvationer av typen 4 på sid 155 i boken

136 Andragradsfunktion Länk till DESMOS
Veta hur en andragradsfunktion ser och hur den fungerar Länk till DESMOS

137 Andragradsfunktion Länk till DESMOS
Veta hur man avgör minsta respektive högsta värde på en andragradsfunktion Veta vad som menas med symmetrilinje, vertex och nollställen Länk till DESMOS

138 Roten ur vs. upphöjt till en halv
Veta att "roten ur" även kan skrivas som "upphöjt till en halv"

139 Arean av en triangel Vara säker på hur man beräknar arean av en triangel

140 Uppgift 17 sidan 157 Kunna lösa ekvationer av typen uppgift 17 sidan 157 i boken

141 Uppgift 13 sidan 159 Kunna lösa uppgifter av typen uppgift 13 sidan 159 i boken

142 Ett litet problem Kvadraten och Rektangeln har lika stora areor. Hur långa är sidorna och hur stor area har de båda figurerna?


Ladda ner ppt "Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller"

Liknande presentationer


Google-annonser