Lotka-Volterra: predator-bytes-modell Projekt 5.9 Lotka-Volterra: predator-bytes-modell A Course in Mathematical Modeling - Mooney & Swift

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Det finns många olika varianter på den klassiska predator-bytes-modellen. Här används en variant, där de exponentiella delarna bytts ut mot logistiska. I en logistisk modell begränsas tillväxten av bärförmågan, till skillnad från i en exponentiell. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Följande predator-bytes-modell används i detta projekt: A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. a) Verifiera att modellen är logistisk. I en exponentiell modell tillväxer bytet exponentiellt i frånvaro av predatorn. I den logistiska modellen begränsas tillväxten (r) av bärförmågan (K), vilket är fallet: Ekvationen dx/dt=xa(1-(bx/a)) gäller i frånvaro av predatorn. a motsvarar r b/a motsvarar K A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. b) “Phase plane”-analys För “phase-plane”-analys: Hitta isoclinerna (nollinjerna) för ekvationerna och rita in dessa i en figur. Markera fix-punkterna. Rita in flödeslinjer. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. b) “Phase plane”-analys Nollinje; dvs när dx/dt och dy/dt är 0: A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. b) “Phase plane”-analys y x f/e a/c Nollinjer Vid nollinjerna varken ökar eller minskar bytes- och predator-populationerna. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. b) “Phase plane”-analys y x f/e a/c Nollinjer Punkten är den mest intressanta punkten. Fixpunkter A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. b) “Phase plane”-analys Populationen kan antingen öka eller minska i områdena under och över nollinjerna. Genom att testa med x>f/e kan man undersöka om området över (dvs, i figuren, till höger om) nollinjen (som är x= f/e) är positivt eller negativt. För x=f/e blir ekvationen alltså noll. För x=2f/e blir ekvationen positiv, dvs predatorpopulationen växer. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. b) “Phase plane”-analys Alltså: Om predatorpopulationen befinner sig till höger om nollinjen kommer den att öka i antal. Detta illustreras av en uppåtriktad pil i figuren. y f/e x A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. b) “Phase plane”-analys Nollinjer medför alltid teckenbyte. Alltså: om predatorpopulationen ökar till höger om nollinjen kommer den istället att minska om den befinner sig till vänster om nollinjen. y f/e x A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. b) “Phase plane”-analys På samma sätt kan man testa om bytespopulationen ökar eller minskar över och under nollinjen (y=(bx-a)/c). Om y=(2a-bx)/c kommer ekvationen för bytespopulationen att bli negativ: Bytespopulationen kommer alltså att minska över nollinjen. Och därmed kommer den att öka under nollinjen. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. b) “Phase plane”-analys För bytespopulationen gäller alltså: y f/e x A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. b) “Phase plane”-analys “Phase plane”-digram med flödeslinjer: y f/e x A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. c) Jacobian-analys Med en Jacobian-analys undersöker man vilken typ av fixpunkt man har (saddle, sink, source eller center). y x γ<0 saddle γ>0 och β<0 sink γ>0 och β>0 source γ>0 och β=0 center A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. c) Jacobian-analys A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

Jämviktspunkten sätts in i Jacobian-matrisen: Del 1. c) Jacobian-analys x y Jämviktspunkten sätts in i Jacobian-matrisen: x=f/e, y=(a-bx)/c→y=(a/c)-(bf/ce) A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

Jäm-viktspunkten är en ‘sink’ och troligen en spiral. Del 1. c) Jacobian-analys x y 1 3 Jäm-viktspunkten är en ‘sink’ och troligen en spiral. γ<0 saddle γ>0 och β<0 sink γ>0 och β>0 source γ>0 och β=0 center 2

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. d) Verifiera förra uppgiften numeriskt! Positiva jämviktspunkten är en spiral-sink! Genom att hitta på värden på a, b, c, e och f så kan detta verifieras med hjälp av Matlab. 1 a=1 b=1 c=1,5 e=1,5 f=0,5 2 Jämvikts- punkten = 0,33;0,44 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. d) Verifiera förra uppgiften numeriskt! Skapa en funktionsfil. Här kallad “byte.m”. 3 function xdot=byte(t,x) a=1; b=1; c=1.5; e=1.5; f=0.5; xdot(1)=a*x(1)-b*x(1)^2-c*x(1)*x(2); xdot(2)=e*x(1)*x(2)-f*x(2); xdot=[xdot(1);xdot(2)]; A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. d) Verifiera förra uppgiften numeriskt! Anropa funktionen och lös numeriskt: 4 [t,x]=ode45('byte',[0,50],[0.1 0.8]); plot(x(:,1),x(:,2)) Testa med olika värden på antalet vid start. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

Del 1. d) Verifiera förra uppgiften numeriskt!

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 I del 2 är funktionen för predatorn ändrad så att den inte minskar exponentiellt i frånvaro av bytet (vilket var fallet i del 1): A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

Verifiera att modellen är logistisk. Del 2. a) Verifiera att modellen är logistisk. Verifiera att modellen är logistisk: För bytespopulationen se del 1a. För predatorpopulationen (i frånvaro av bytet): Om y är stort begränsas tillväxten och tvärtom om y är litet. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 2. b) “Phase-plane”-analys Hitta nollinjerna: A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 2. b) “Phase-plane”-analys 2. Rita in nollinjerna i en figur och markera fixpunkterna. f/e a/c y x Fixpunkter A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 2. b) “Phase-plane”-analys 3. Rita in flödeslinjer. Om y=(a-bx)/c kommer bytespopulationen varken öka eller minska (dvs nollinjen!). Om y är större, tex y=(2a-bx)/c kommer bytespopulationen att minska: Om y istället är mindre kommer bytespopulationen öka. Uttrycket är dock inte större än 0, om b<<a! A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 2. b) “Phase-plane”-analys 3. Rita in flödeslinjer. f/e a/c y x A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 2. b) “Phase-plane”-analys 3. Rita in flödeslinjer. Om x=(gy-f)/e kommer predatorpopulationen varken öka eller minska (dvs nollinjen!). Om x är större, tex x=(2gy-f)/e kommer predatorn att öka: Om x är mindre kommer predatorpopulationen minska. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 2. b) “Phase-plane”-analys 3. Rita in flödeslinjer. f/e a/c y x A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 2. b) “Phase-plane”-analys 3. Rita in flödeslinjer. f/e a/c y x A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 2. c) Jacobian-analys A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 2. c) Jacobian-analys Stoppa in jämviktspunkten i Jacobianen! ??????????????????????????????????????? A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 2. d) Verifiera numeriskt! Positiva jämviktspunkten: en spiral-sink? Hitta på värden för konstanterna: a=1 b=1 c=1,5 e=1,5 f=0,5 g=1 1 2 Hitta jämviktspunkten Skapa en funktionsfil 3 Skapa en fil som löser funktionen numeriskt och använd startvärden som ligger i närheten av jämviktspunkten. 4 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 2. d) Verifiera numeriskt! Hitta jämviktspunkten genom att lösa ut x och y och stoppa in värdena på konstanterna. 2 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. d) Verifiera numeriskt! Skapa en funktionsfil. Här kallad “predator.m”. 3 function xdot=predator(t,x) a=1; b=1; c=1.5; e=1.5; f=0.5; g=1; xdot(1)=a*x(1)-b*x(1)^2-c*x(1)*x(2); xdot(2)=e*x(1)*x(2)-f*x(2)-g*x(2)^2; xdot=[xdot(1);xdot(2)]; A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3 Del 1. d) Verifiera numeriskt! Anropa funktionen och lös numeriskt: 4 [t,x]=ode45(‘predator',[0,50],[0.1 0.8]); plot(x(:,1),x(:,2)) Testa med olika värden på antalet vid start. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

Del 1. d) Verifiera numeriskt!